Question

（2013•昭通）如圖，在⊙C的內(nèi)接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=

3

4

，拋物線y=a（x-2）²+m（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）與點(diǎn)（-2，6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線m與⊙C相切于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段DA上，從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)．當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解析式即可；
（2）連接AC交OB于E，作OF⊥AD于F，得出m∥OB，進(jìn)而求出OD，OF的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出DF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)（-2，6）的坐標(biāo)代入y=a（x-2）²+m中，得方程組，

4a+m=0 16a+m=6

解得

a= 1 2 m=-2

，
故拋物線的解析式為y=

1

2

x²-2x．

（2）如圖所示，連接AC交OB于E．作OF⊥AD于F，
∵直線m切⊙C于點(diǎn)A，
∴AC⊥m．
∵弦AB=AO，
∴

OA

=

AB

．
∴AC⊥OB，
∴m∥OB．
∴∠OAD=∠AOB．
∵OA=4，tan∠AOB=

3

4

，
∴OD=OA•tan∠OAD=4×

3

4

=3．
則OF=OA•sin∠OAD=4×

3

5

=2.4．
t秒時(shí)，OP=t，DQ=2t，
若PQ⊥AD，則 FQ=OP=t．DF=DQ-FQ=t．
∴△ODF中，t=DF=

OD2-OF2

=1.8（秒）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及垂徑定理的推論和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出OF的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．