Question

設(shè)n為正整數(shù)，且64ⁿ-7ⁿ能被57整除，證明：8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍數(shù)．

Answer 1

分析：由于64ⁿ-7ⁿ能被57整除，則可設(shè)64ⁿ-7ⁿ=57m（m為正整數(shù)），即8²ⁿ=57m+7ⁿ，根據(jù)冪的乘方得到和提公因數(shù)得到8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²=8×8²ⁿ+49×7ⁿ=8（57m+7ⁿ）+49×7ⁿ=57（8m+7ⁿ），于是可得到8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍數(shù)．

解答：證明：∵64ⁿ-7ⁿ能被57整除，
∴64ⁿ-7ⁿ=57m（m為正整數(shù)），即8²ⁿ=57m+7ⁿ，
∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²=8×8²ⁿ+49×7ⁿ
=8（57m+7ⁿ）+49×7ⁿ
=57（8m+7ⁿ），
∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了因式分解的應(yīng)用：運(yùn)用因式分解的方法可簡(jiǎn)化運(yùn)算．