Question

問題情境：如圖1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將一個用足夠長的的細(xì)鐵絲制作的直角的頂點(diǎn)D放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點(diǎn)。
問題探究：（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，
①如圖2，當(dāng)AD＝BD時，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由。
②如圖3，當(dāng)AD＝2BD時，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由。
③根據(jù)你對①、②的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)AD＝nBD時，DP、DQ滿足的數(shù)量關(guān)系為_______________（直接寫出結(jié)論，不必證明）
（2）當(dāng)AD＝BD時，若AB＝20，連接PQ，設(shè)△DPQ的面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請說明理由。

圖1              圖2                 圖3

Answer 1

（1）① DP=DQ  ②DP=2DQ ③DP="nDQ" （2）當(dāng)DP⊥AC時，x最小，最小值是，此時，S有最小值，    當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，x最大，最大值是10，此時，S有最大值，

解析試題分析：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)最值求出等知識，熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．
（1）①首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案；
②首先得出△DPM∽△DQN，則  ，求出△AMD∽△BND，進(jìn)而得出答案.
③根據(jù)已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，則 ，則AD=nBD，求出即可；
（2）當(dāng)DP⊥AC時，x最小，最小值是5 .此時，S有最小值；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，x最大，最大值為10，分別求出即可．
試題解析：（1）①DP＝DQ     

理由：連接CD，
∵AD=BD，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ.
② DP=" 2DQ" 。           
理由：如圖，過點(diǎn)D作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足分別為M、N，

∴∠DMP＝∠DNQ＝90°，∠MDP＝∠NDQ，
∴△DPM∽△DQN，∴DM:DN="DP:DQ" 。
∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，
∴△AMD∽△BND，∴AD:BD=DM:DN。
∴DP:DQ=AD:BD=2BD:BD=2:1，
∴DP=2DQ。                 
③DP=NQ。                 
（2）存在，設(shè)DQ=x，由（1）①知DP=x，
∴S=1／2xx=1／2x²
，
當(dāng)DP⊥AC時，x最小，最小值是，此時，S有最小值，  
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，x最大，最大值是10，此時，S有最大值，
考點(diǎn)：幾何變換綜合題．