Question

【題目】如圖，點E為△ABC的外接圓⊙O上一點，OE⊥BC于點D，連接AE并延長至點F，使∠FBC＝∠BAC，

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若點D為OE中點，過點B作BG⊥AF于點G，連接DG，⊙O的半徑為,AC=5.

①求∠BAC的度數；

②求線段DG的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①60°；②1.

【解析】

（1）連接OB、OC，由垂徑定理、圓周角定理得∠BOD=∠BAC=∠FBC，根據∠BOD+∠OBD=90，得到∠FBC+∠OBD=90，即可證得直線BF是⊙O的切線；

（2）①由點D為OE中點，得到,利用cos∠BOD=，即可求出∠BOD=60，得到∠BAC=60；

②延長AC、BG交于點M，證明△ABM是等邊三角形，由點D是BC的中點，G是BM的中點，得到DG是△BCM的中位線，過點M作MP⊥AB，過點O作ON⊥AM，連接OA，利用勾股定理求出ON的長，再利用勾股定理求出MN的長，即可求出MC的長度得到DG的長.

（1）連接OB、OC，

∵OE⊥BC，

∴∠BOD=∠BOC,∠ODB=90，

∵∠BAC=∠BOC,

∴∠BOD=∠BAC,

∵∠FBC＝∠BAC,∠BOD+∠OBD=90，

∴∠FBC+∠OBD=90，

即∠OBF=90，

∴OB⊥BF,

∴直線BF是⊙O的切線；

（2）①∵點D為OE中點，

∴,

∴cos∠BOD=，

∴∠BOD=60，

∴∠BAC=60；

②延長AC、BG交于點M，

∵OE⊥BC，

∴,BD=CD,

∵BG⊥AF，

∴∠AGB=90，

∴∠ABG=60,

∴△ABM是等邊三角形，BG=AG,

∴DG是△BCM的中位線，

∴DG=CM,

過點M作MP⊥AB，

∴點P為AB的中點，∠AMP=30，

∴MP過點O,

過點O作ON⊥AM，連接OA，

∴AN=NC=AC=,

∵AO=,

∴,

∴，

∴MC=MN-NC=2，

∴DG=MC=1.