Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A (8,0) ,B (0,6)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AO以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BO﹣OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在y軸上的速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，在x軸上的速度是每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，過點(diǎn)M作x軸的垂線交AB于點(diǎn)C，連結(jié)MN、CN．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），△MCN的面積為S（平方單位）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M、N相遇?

（2）求△MCN的面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△MCN是等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，；當(dāng)2＜t＜ 時(shí)，；當(dāng)＜t≤4時(shí)，；（3）當(dāng)t＝或或時(shí)，△MCN是等腰三角形

【解析】

（1）由題意列方程可求t的值；
（2）分0＜t≤2，2＜t＜，＜t≤4三種情況討論，由三角形的面積公式可求解；
（3）分0＜t≤2，2＜t＜，＜t≤4三種情況討論，即可求t的值．

解：（1）由題意可得：2t+4（t﹣2）＝8

∴t＝

∴當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N相遇；

（2）∵CM⊥OA，BO⊥OA，

∴CM∥BO，

∴△CMA∽△BOA ，

∴ 即：，

①如圖1所示：當(dāng)0＜t≤2時(shí)， ，

②如圖2所示：當(dāng)2＜t＜ 時(shí)，，

③如圖3所示：當(dāng)＜t≤4時(shí)，；

（3）應(yīng)分三種情況討論：

①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，點(diǎn)N在BO上．

（i）如圖4，過C作CH⊥OB于H，

則CH＝OM＝

又∵CM＝

∴CH—CM=—=

當(dāng)0＜t≤2時(shí)，＞0，即CH＞CM

又CN≥CH，MN≥CH

∴CN＞CM，MN＞CM

即CNCM，MNMC

（ii）若NC=NM時(shí)，則△MCN是等腰三角形．

此時(shí)點(diǎn)N在CM的垂直平分線上，

∴ON=,

則有：6﹣3t＝

解得：t＝

②當(dāng)2＜t＜時(shí)，如圖2所示：此時(shí)點(diǎn)N在OA上，且點(diǎn)N在點(diǎn)M左側(cè)．

∵∠CMN＝90°

∴只有當(dāng)MC=MN時(shí)，△MCN是等腰三角形．

此時(shí),

則有：

解得：t＝

③當(dāng)＜t≤4時(shí)，如圖3所示：點(diǎn)N在OA上，且點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)．

同理可得：只有當(dāng)MC=MN時(shí)，△MCN是等腰三角形．

此時(shí)

則有：

解得：t＝

綜上所述：當(dāng)t＝或或時(shí)，△MCN是等腰三角形．