Question

已知頂點(diǎn)為A（1，5）的拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（5，1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），設(shè)C，D分別是x軸、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD的最小周長(zhǎng)；
（3）在（2）中，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，作直線CD．設(shè)點(diǎn)P（x，y）（x＞0）是直線y=x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是OP的中點(diǎn)，以PQ為斜邊按圖（2）所示構(gòu)造等腰直角三角形PQR．
①當(dāng)△PQR與直線CD有公共點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍；
②在①的條件下，記△PQR與△COD的公共部分的面積為S．求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)為A（1，5），點(diǎn)B（5，1）代入求出拋物線的解析式；
（2）可以過(guò)y，x軸分別做A，B的對(duì)稱點(diǎn)A′，B′，然后連A′D，B′C，當(dāng)這四點(diǎn)在同一直線時(shí)，周長(zhǎng)最小，求出即可；
（3）作B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)B′，A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B′，與x軸，y軸交于C、D點(diǎn)，此時(shí)四邊形ABCD周長(zhǎng)最小，求出CD的解析式，求出CD與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到△PQR與直線y=x有公共點(diǎn)時(shí)x的取值范圍，以及公共部分的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為A（1，5），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+5，
將點(diǎn)B（5，1）代入，得a（5-1）²+5=1，
解得a=-

1

4

，
∴y=-

1

4

x²+

1

2

x+

19

4

；

（2）可以過(guò)y，x軸分別做A，B的對(duì)稱點(diǎn)A′，B′，然后連A′D，B′C，
顯然A′（-1，5），B′（5，-1），連接A′B′分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)，
∵DA=DA′，CB=CB′，
∴此時(shí)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，最小值就是A′B′+AB，
而A′B′=

(5+1) 2+(1+5) 2

=6

2

，
AB=

(5-1) 2+(1-5) 2

=4

2

，
∴A′B′+AB=10

2

，
四邊形ABCD的最小周長(zhǎng)為10

2

；

（3）①點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（5，-1），點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（-1，5），連接A′B′，與x軸，y軸交于C，D點(diǎn)，
∴CD的解析式為：y=-x+4，
聯(lián)立

y=-x+4 y=x

，
得：

x=2 y=2

，
∵點(diǎn)P在y=x上，點(diǎn)Q是OP的中點(diǎn)，
∴要使等腰直角三角形與直線CD有公共點(diǎn)，則2≤x≤4．
故x的取值范圍是：2≤x≤4．
②如圖：

點(diǎn)E（2，2），當(dāng)EP=EQ時(shí)，x-2=2-

1

2

x，得：x=

8

3

，
當(dāng)2≤x≤

8

3

時(shí)，S=

1

2

PR•RQ-

1

2

EP²=

1

2

（x-

1

2

x）•（x-

1

2

x）-

1

2

•

2

（x-2）•

2

（x-2），
S=-

7

8

x²+4x-4，
當(dāng)x=

16

7

時(shí)，S_最大=

4

7

．
當(dāng)

8

3

≤x≤4時(shí)，S=

1

2

EQ²=

1

2

•

2

（2-

1

2

x）•

2

（2-

1

2

x），
S=

1

4

（x-4）²，
當(dāng)x=

8

3

時(shí)，S_最大=

4

9

．
故S的最大值為：

4

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，（1）利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)的解析式，（2）確定四邊形的周長(zhǎng)，（3）根據(jù)對(duì)稱性求出CD的解析式，然后求出x的取值范圍和S與x的函數(shù)關(guān)系．