Question

（2009•吉林）如圖所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6厘米，∠B=60度．從初始時(shí)刻開(kāi)始，點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒時(shí)，△APQ與△ABC重疊部分的面積為y平方厘米（這里規(guī)定：點(diǎn)和線段是面積為O的三角形），解答下列問(wèn)題：
（1）點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是______秒；
（2）點(diǎn)P、Q從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止的過(guò)程中，當(dāng)△APQ是等邊三角形時(shí)x的值是______秒；
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6厘米，∠B=60°，則易證△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)是6厘米．點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇，即兩人所走的路程的和是18cm．設(shè)從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是x秒．列方程就可以求出時(shí)間．
（2）當(dāng)P在AC上，Q在AB上時(shí)，AP≠AQ，則一定不是等邊三角形，當(dāng)△APQ是等邊三角形時(shí)，Q一定在邊CD上，P一定在邊CB上，若△APQ是等邊三角形，則CP=DQ，根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系，就可以得到一個(gè)關(guān)于x的方程，就可以得到x的值．
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．應(yīng)根據(jù)0≤x＜3和3≤x＜6以及6≤x≤9三種情況進(jìn)行討論．把x當(dāng)作已知數(shù)值，就可以求出y．就可以得到函數(shù)的解析式．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
因而邊長(zhǎng)是6．設(shè)點(diǎn)P，Q從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是x秒．
根據(jù)題意得到x+2x=18，解得x=6秒．

（2）若△APQ是等邊三角形，
此時(shí)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
則CP=DQ，即x-6=18-2x，解得x=8；

（3）①當(dāng)0≤x＜3時(shí)，
y=S_△AP1Q1==．（5分）
②當(dāng)3≤x＜6時(shí)，
y=S_△AP2Q2
=
=sin60°
=
=-x（7分）
③當(dāng)6≤x≤9時(shí)，設(shè)P₃Q₃與AC交于點(diǎn)O．
（解法一）
過(guò)Q₃作Q₃E∥CB交AC于E，則△CQ₃E為等邊三角形．
∴Q₃E=CE=CQ₃=2x-12
∵Q₃E∥CB
∴△COP₃∽△EOQ₃
∴
∴OC=（2x-12）
y=S_△AOP3
=S_△ACP3-S_△COP3
=sin60°
=
=-；
（解法二）
如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CP₃于點(diǎn)F，OG⊥CQ₃，于點(diǎn)G，
過(guò)點(diǎn)P₃作P₃H⊥DC交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
∵∠ACB=∠ACD
∴OF=OG
又CP₃=x-6，CQ₃=2x-12=2（x-6），
∴S_△COP3=
∴




又S_△ACP3=×AC×sin60°
=
=（x-6）
∴
=
=
=-（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用圖形的關(guān)系求函數(shù)的解析式．注意數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．