Question

已知關于x的方程x²-kx+k²+n=0有兩個不相等的實數(shù)根x₁、x₂，且（2x₁+x₂）²-8（2x₁+x₂）+15=0．
（1）求證：n＜0；
（2）試用k的代數(shù)式表示x₁；
（3）當n=-3時，求k的值．

Answer 1

證明：（1）∵關于x的方程x²-kx+k²+n=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=k²-4（k²+n）=-3k²-4n＞0，
∴n＜-

3

4

k²．
又-k²≤0，
∴n＜0．

（2）∵（2x₁+x₂）²-8（2x₁+x₂）+15=0，x₁+x₂=k，
∴（x₁+x₁+x₂）²-8（x₁+x₁+x₂）+15=0
∴（x₁+k）²-8（x₁+k）+15=0
∴[（x₁+k）-3][（x₁+k）-5]=0
∴x₁+k=3或x₁+k=5，
∴x₁=3-k或x₁=5-k．

（3）∵n＜-

3

4

k²，n=-3，
∴k²＜4，即：-2＜k＜2．
原方程化為：x²-kx+k²-3=0，
把x₁=3-k代入，得到k²-3k+2=0，
解得k₁=1，k₂=2（不合題意），
把x₁=5-k代入，得到3k²-15k+22=0，△=-39＜0，所以此時k不存在．
∴k=1．