Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

在一節(jié)數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們借助幾何畫板對以下題目進行了研究.如圖1，

MN是過點A的直線，點C為直線MN外一點，連接AC，作∠ACD=60°，使AC=DC，在MN上取一點B，使∠DBN=60°．

觀察發(fā)現(xiàn)

（1）根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)，猜想線段AB、DB、CB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；

（2）希望小組認真思考后提出一種證明方法：將CB所在的直線以點C為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)60°，與直線MN交于點E，即可證明（1）中的結(jié)論. 請你在圖1中作出線段CE，并根據(jù)此方法寫出證明過程；

實踐探究

（3）奮進小組在繼續(xù)探究的過程中，將點C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖2和圖3的位置時，∠DBN=120°，線段AB、BD、CB的大小發(fā)生了變化，但是仍然滿足一定的數(shù)量關(guān)系，請你直接寫出這兩種關(guān)系：

在圖2中，線段AB、DB、CB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；

在圖3中，線段AB、DB、CB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；

提出問題

（4）智慧小組提出一個問題：若圖3中BC⊥CD于點C時，BC=2，則AC為多長？請你解答此問題.

Answer 1

【答案】（1）AB+DB=CB；（2）見解析；（3）AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）

【解析】

（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)直接猜想AB+DB=CB

（2）在射線AM上一點E，使得∠ECB=60°，證明△ACE≌△DCB，推出EB=CB從而得出（1）中的結(jié)論；

（3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和線段的和差關(guān)系以及全等三角形的性質(zhì)得出線段關(guān)系；

（4）過點C作∠BCE=60，邊CE與直線MN交于點E，設(shè)AC與BD交于點F.證明△ACE≌△DCB，得出BC=EC，結(jié)合△ECB為等邊三角形，得出∠ECA=90°，在Rt△AEC中根據(jù)邊長計算出AC的長度.

綜合與實踐

（1）AB+DB=CB

（2）線段CE如圖所示.

證明：∵∠ECB=∠ACD=60，

∴∠2+∠ACB=∠1+∠ACB，

∴∠2=∠1.

∵∠ACD=∠DBN=60, ∠ABD+∠DBN=180，

∴∠ABD+∠ACD=180，

∴在四邊形ACDB中，∠CAB+∠3=180.

∵∠CAB+∠4=180，

∴∠4=∠3.

又∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB（ASA）

∴EA=BD，EC=BC.

又∵∠ECB=60°，

∴△ECB為等邊三角形,

∴EB=CB.

而EB=EA+AB=DB+AB,

∴CB=DB+AB.

（3） AB－DB=CB；DB－AB=CB；

（4）證明：如圖，過點C作∠BCE=60，邊CE與直線MN交于點E，設(shè)AC與BD交于點F.

∵∠DCA=60

∴∠ECB+∠BCA=∠DCA+∠BCA

即∠ECA=∠BCD

∵∠DBN=120

∴∠DBA=60

又∵∠AFB=∠DFC

∴∠EAF=∠BDC

又∵AC=DC

∴△ACE≌△DCB（ASA）

∴BC=EC

∴△ECB為等邊三角形

∴∠CEB=60

∵BC⊥CD

∴∠ECA=∠BCD=90

∴在Rt△AEC中，∠CAE=30

∵BC=2，EC=BC

∴AC=EC·tan60=