Question

已知：△ABC中，AB＜BC，AC的中點為M，MN⊥AC交∠ABC的角平分線于N．
（1）如圖1，若∠ABC=60°，求證：BA+BC=

3

BN；
（2）如圖2，若∠ABC=120°，則BA、BC、BN之間滿足什么關(guān)系式，并對你得出的結(jié)論給予證明．

Answer 1

分析：（1）連接AN、CN，過點N作NE⊥AB于點E，NF⊥BC于點F，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AN=NC，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得NE=NF，然后利用“HL”證明Rt△ANE和Rt△CNF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=CF，然后求出BA+BC=2BF，在Rt△BNF中，利用∠NBF的余弦值列式整理即可得證；
（2）連接AN、CN，在BC上截取BE=AB，然后利用“邊角邊”證明△ABN和△ABE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得NA=NE，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得NA=NC，從而得到NE=NC，過點N作NF⊥BC于點F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EF=

1

2

EC，然后表示出BF，在Rt△BFN中，利用∠NBF的余弦值列式整理即可得解．

解答： （1）證明：連接AN、CN，過點N作NE⊥AB于點E，NF⊥BC于點F，
∵BN是∠ABC的角平分線，
∴NE=NF，
∵AC的中點為M，MN⊥AC，
∴AN=NC，
在Rt△ANE和Rt△CNF中，

BN=BN NE=NF

，
∴Rt△ANE≌Rt△CNF（HL），
∴AE=CF，
∴BA+BC=BE-AE+BF+CF=2BF，
∵∠ABC=60°，BN平分∠ABC，
∴∠NBF=

1

2

×60°=30°，
∴cos30°=

BF

BN

=

1 2 (BA+BC)

BN

=

3

2

，
∴BA+BC=

3

BN；

（2）連接AN、CN，在BC上截取BE=AB，
∵BN是∠ABC的角平分線，
∴∠ABN=∠EBN，
在△ABN和△ABE中，

BN=BN ∠ABN=∠EBN BE=AB

，
∴△ABN≌△ABE（SAS），
∴NA=NE，
∵AC的中點為M，MN⊥AC，
∴NA=NC，
∴NE=NC，
過點N作NF⊥BC于點F，
則EF=

1

2

EC=

1

2

（BC-BA），
∴BF=BE+EF=BA+

1

2

（BC-BA）=

1

2

（BC+BA），
∵∠ABC=120°，BN平分∠ABC，
∴∠NBF=

1

2

×120°=60°，
∴cos60°=

BF

BN

=

1 2 (BC+BA)

BN

=

1

2

，
∴BA+BC=BN．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．