Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向，在射線DA上以每秒2兩個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；
（3）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)O，且2AO=OB時(shí)，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在時(shí)刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形，根據(jù)梯形的面積公式就可以利用t表示，就得到S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：
①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．
在Rt△PMQ中根據(jù)勾股定理，就得到一個(gè)關(guān)于t的方程，就可以求出t．
（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可列式求出t，從而根據(jù)正切的定義求出值．
（4）首先假設(shè)存在，然后再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求證．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形．
∴PM=DC=12．
∵QB=16-t，
∴S=

1

2

×12×（16-t）=96-6t（0≤t＜16）；

（2）由圖可知：CM=PD=2t，CQ=t．
以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：
①若PQ=BQ．
在Rt△PMQ中，PQ²=t²+12²，
由PQ²=BQ²得t²+12²=（16-t）²，
解得t=

7

2

；
②若BP=BQ．
在Rt△PMB中，BP²=（16-2t）²+12²．
由BP²=BQ²得：（16-2t）²+12²=（16-t）²
即3t²-32t+144=0．
由于△=-704＜0，
∴3t²-32t+144=0無(wú)解，
∴PB≠BQ．
③若PB=PQ．
由PB²=PQ²，得t²+12²=（16-2t）²+12²
整理，得3t²-64t+256=0．
解得t₁=

16

3

，t₂=16（舍去）
綜合上面的討論可知：當(dāng)t=

7

2

秒或t=

16

3

秒時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

（3）如圖，由△OAP∽△OBQ，得

AP

BQ

=

AO

OB

=

1

2

．
∵AP=2t-21，BQ=16-t，
∴2（2t-21）=16-t．
∴t=

58

5

．
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AD，垂足為E．
∵PD=2t，ED=QC=t，
∴PE=t．
在Rt△PEQ中，tan∠QPE=

QE

PE

=

12

t

=

30

29

．
又∵AD∥BC，
∴∠BQP=∠QPE，
∴tan∠BQP=

30

29

；

（4）設(shè)存在時(shí)刻t，使得PQ⊥BD．
如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，垂足為E．
∵AD∥BC
∴∠BQF=∠EPQ，
又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°，
∴∠BQF=∠BDC，
∴∠BDC=∠EPQ，
又∵∠C=∠PEQ=90°，
∴Rt△BDC∽R(shí)t△QPE，
∴

DC

BC

=

PE

EQ

，即

12

16

=

t

12

．
解得t=9．
所以，當(dāng)t=9秒時(shí)，PQ⊥BD．

點(diǎn)評(píng)：梯形的問(wèn)題可以通過(guò)作高線可以轉(zhuǎn)化為直角三角形與矩形的問(wèn)題．并且要理解以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，應(yīng)分①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．三種情況進(jìn)行討論．