Question

如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開(kāi)發(fā)區(qū)A，B，已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角∠AON=30°，新開(kāi)發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米．
（1）新開(kāi)發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為_(kāi)_____；
（2）現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開(kāi)發(fā)區(qū)A，B修兩條公路PA，PB，使點(diǎn)P到新開(kāi)發(fā)區(qū)A，B的距離之和最短．此時(shí)PA+PB=______（千米）．

Answer 1

解：（1）∵BC=3，∠AOC=30°，
∴OB=6．
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥MN于點(diǎn)E，AO=AB+OB=16，
∴AE=8．
即新開(kāi)發(fā)區(qū)A到公路的距離為8千米；

（2）過(guò)D作DF⊥AE的延長(zhǎng)線（點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)），垂足為F．
則EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，
過(guò)B作BG⊥AE于G，
∴BG=DF，
∵BG=AB•cos30°=5，
∴，
連接PB，則PB=PD，
∴PA+PB=PA+PD=AD=14（千米）．
分析：（1）先求出OB的長(zhǎng)，從而得出OA的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離．
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，再根據(jù)余弦概念求解．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)來(lái)綜合解三角形的能力．