Question

如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點(diǎn)，∠APC=∠BPC=60°，AB與PC交于Q點(diǎn)．
（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：

AP

PB

=

AQ

QB

；
（3）若∠ABP=15°，△ABC的面積為4

3

，求PC的長．

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理知，∠BAC=∠BPC=∠APC=∠BPC=60°，即可證明△ABC是等邊三角形；
（2）過B作BD∥PA交PC于D，證得△AQP∽△BQD，

AQ

QB

=

AP

BD

，再證PB=BD即可；
（3）通過作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形求解．

解答：（1）解：△ABC是等邊三角形．
證明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）證明：如圖，過B作BD∥PA交PC于D，則∠BDP=∠APC=60°，
又∵∠AQP=∠BQD，
∴△AQP∽△BQD，
∴

AQ

QB

=

AP

BD

，
∵∠BPD=∠BDP=60°，
∴PB=BD，
∴

AQ

QB

=

AP

PB

；

（3）解：設(shè)正△ABC的高為h，則h=BC•sin60°．
∵

1

2

BC•h=4

3

，
即

1

2

BC•BC•sin60°=4

3

，
解得BC=4，
連接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，
由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，從而得∠OCE=30°，
∴OC=

CE

cos30°

=

4

3

，
由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，
于是∠POC=2∠PBC=150°，
∴∠PCO=（180°-150°）÷2=15°，
如圖，作等腰直角△RMN，在直角邊RM上取點(diǎn)G，使∠GNM=15°，則∠RNG=30°，
作GH⊥RN，垂足為H．
設(shè)GH=1，則cos∠GNM=cos15°=

MN

2

．
在Rt△GHN中，
NH=GN•cos30°，GH=GN•sin30°，
∴RH=GH，MN=RN•sin45°，
∴cos15°=

2 + 6

4

．
在圖中，作OF⊥PC于F，
∴PC=2CF=2OC•cos15°=2

2

+

2 6

3

．

點(diǎn)評：本題利用了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念，三角形的面積公式，等腰直角三角形的性質(zhì)，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形和等腰直角三角形求解，有很強(qiáng)的綜合性．