Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為直角梯形，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（2，6），（8，6），（8，0）．動(dòng)點(diǎn)F、D分別從O、B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．其中，點(diǎn)F沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交OB于E，連接EF．已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒．
（1）x的取值范圍為多少？
（2）E點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

；（用含x的代數(shù)式表示）
（3）試求△OFE面積的最大值，并求此時(shí)x的值．
（4）請(qǐng)你探索：△OFE能否成為以O(shè)F為底邊的等腰三角形？如能請(qǐng)求出x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意易知AB＜CD，且知AB=6，故可求x的取值范圍；
（2）過(guò)E作EG⊥BC于G，由于AB∥OC，可知∠OBE=∠COB，而∠EDB=∠BCO=90°，可證△BDE∽△OCB，再利用比例線段可求DE，而知四邊形DEGB是矩形，那么易求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）通過(guò)觀察可知，在△OEF中，OF=x，OF邊上的高EH=CG=

3

4

x，利用三角形面積公式有S_△OFE=-

3

8

(x-4)2+6，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求S的最大值，以及x的值；
（4）延長(zhǎng)DE交x軸于H，則有EH⊥OC，當(dāng)HF=HO且EH⊥OC（點(diǎn)F在點(diǎn)H的右邊），則△OFE就可以O(shè)F為底邊的等腰三角形，而OH=8-x，HF=OF-OH=x-（8-x）=2x-8，于是8-x=2x-8，解得x=

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，并且x＜6，成立．

解答：解：（1）∵AB=8-2=6，
∴0≤x≤6；

（2）過(guò)E作EG⊥BC于G，
∵AB∥OC，
∴∠OBE=∠COB，
∵∠EDB=∠BCO=90°，
∴△BDE∽△OCB，
∴DB：DE=OC：BC，
∴x：DE=8：6，
∴DE=

3

4

x，
又∵四邊形DEGB是矩形，
∴EG=x，BG=

3

4

x，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)是：（8-x，6-

3

4

x）；

（3）設(shè)△OEF的面積為S，在△OEF中，OF=x，OF邊上的高EH=CG=6-

3

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x，
其中，0≤x≤6，
∴S=

1

2

x•（6-

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4

x）=-

3

8

(x2-8x)=-

3

8

(x-4)2+6，
∴S的最大值為6，此時(shí)x=4；

（4）延長(zhǎng)DE交x軸于H，則有EH⊥OC，
若HF=HO且EH⊥OC（點(diǎn)F在點(diǎn)H的右邊），則△OFE就可以O(shè)F為底邊的等腰三角形，
∵OH=8-x，HF=OF-OH=x-（8-x）=2x-8，
∴8-x=2x-8，
∴x=

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3

（

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3

＜6成立）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了自變量的取值范圍、相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、等腰三角形的判定．解題的關(guān)鍵是過(guò)E作EG⊥BC于G，以及延長(zhǎng)DE交x軸于H，則有EH⊥OC，構(gòu)造矩形．