Question

如圖P是△ABC所在平面上一點．如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點P就叫做費馬點．

（1）當△ABC是等邊三角形時，作尺規(guī)法作出△ABC費馬點．（不要求寫出作法，只要保留作圖痕跡）

（2）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=．四邊形CDPE是正方形，CD在AC上，CE在BC上，P是△ABC的費馬點．求：P點到AB的距離．

（3）已知：銳角△ABC，分別以AB，AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點．
①求∠CPD的度數(shù)；
②求證：P點為△ABC的費馬點．

Answer 1

解：（1）△ABC費馬點如圖所示：


（2）連接AP，BP，CP并延長交AB于Q點．

∵P是△ABC費馬點，
∴∠APC=∠BPC=120°．
∵四邊形CDPE是正方形，
∴∠PCD=∠PCE=45°．
∵CP=CP，
∴△ACP≌△BCP．
∴AP=BP．
∴CQ⊥AB．
∵∠APC=120°，
∴∠APQ=60°．
∴PQ=．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=×．
，
∴．

（3）①∵△ACE≌△ABD，
∵∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠CPD=∠5=60°．
②∵△ADF∽△CFP，
∴．
∵∠AFP=∠CFD，
∴△AFP∽△CDF．
∴∠APF=∠ACD=60°．
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°．
∴∠BPC=120°．
∴∠APB=360°-∠BPC-∠APC=120°．
∴P點為△ABC的費馬點．

分析：（1）用尺規(guī)法只要作出△ABC的外心即可．
（2）連接AP，BP，CP并延長交AB于Q點，先得△ACP≌△BCP，則CQ⊥AB，由邊的關(guān)系求得P點到AB的距離．
（3）①由△ACE≌△ABD可求得∠CPD的度數(shù)．②先得△ADF∽△CFP，再證得△AFP∽△CDF，最后得∠APC=∠APB=120°，則P點為△ABC的費馬點．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，題目較為復雜，綜合性較強．