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        1. 如圖P是△ABC所在平面上一點.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點P就叫做費馬點.

          (1)當△ABC是等邊三角形時,作尺規(guī)法作出△ABC費馬點.(不要求寫出作法,只要保留作圖痕跡)

          (2)已知:△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,AC=BC=數(shù)學公式.四邊形CDPE是正方形,CD在AC上,CE在BC上,P是△ABC的費馬點.求:P點到AB的距離.

          (3)已知:銳角△ABC,分別以AB,AC為邊向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P點.
          ①求∠CPD的度數(shù);
          ②求證:P點為△ABC的費馬點.

          解:(1)△ABC費馬點如圖所示:


          (2)連接AP,BP,CP并延長交AB于Q點.

          ∵P是△ABC費馬點,
          ∴∠APC=∠BPC=120°.
          ∵四邊形CDPE是正方形,
          ∴∠PCD=∠PCE=45°.
          ∵CP=CP,
          ∴△ACP≌△BCP.
          ∴AP=BP.
          ∴CQ⊥AB.
          ∵∠APC=120°,
          ∴∠APQ=60°.
          ∴PQ=
          ∵△ABC是等腰直角三角形,
          ∴AB=AC=×
          ,


          (3)①∵△ACE≌△ABD,
          ∵∠1=∠2,
          ∵∠3=∠4,
          ∴∠CPD=∠5=60°.
          ②∵△ADF∽△CFP,

          ∵∠AFP=∠CFD,
          ∴△AFP∽△CDF.
          ∴∠APF=∠ACD=60°.
          ∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°.
          ∴∠BPC=120°.
          ∴∠APB=360°-∠BPC-∠APC=120°.
          ∴P點為△ABC的費馬點.

          分析:(1)用尺規(guī)法只要作出△ABC的外心即可.
          (2)連接AP,BP,CP并延長交AB于Q點,先得△ACP≌△BCP,則CQ⊥AB,由邊的關(guān)系求得P點到AB的距離.
          (3)①由△ACE≌△ABD可求得∠CPD的度數(shù).②先得△ADF∽△CFP,再證得△AFP∽△CDF,最后得∠APC=∠APB=120°,則P點為△ABC的費馬點.
          點評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),題目較為復雜,綜合性較強.
          練習冊系列答案
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          如圖P是△ABC所在平面上一點.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點P就叫做費馬點.
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          (2)已知:△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,AC=BC=
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          .四邊形CDPE是正方形,CD在AC上,CE在BC上,P是△ABC的費馬點.求:P點到AB的距離.
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          (3)已知:銳角△ABC,分別以AB,AC為邊向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P點.
          ①求∠CPD的度數(shù);
          ②求證:P點為△ABC的費馬點.
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          如圖:

          (1)根據(jù)△ABC所在位置,寫出A、B、C三點的坐標;

          (2)將△ABC向左平移6個單位?再向上平移5個單位,則平移后各個頂點的坐標是多少?在圖中畫出平移后的圖形.

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          ①求∠CPD的度數(shù);

          ②求證:P點為△ABC的費馬點.

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