Question

如圖，△ABC和△A₁B₁C₁均為等邊三角形，點O既是AC的中點，又是A₁C₁的中點，則AA₁：BB₁=

1：

3

．

Answer 1

分析：連接OB，OB₁，根據(jù)等邊三角形的性質求出OB⊥AC，B₁O⊥A₁C₁，推出∠BOB₁=∠COC₁=∠AOA₁，求出AB=2AO，A₁B₁=2A₁O，由勾股定理求出OB=

3

AO，OB₁=

3

A₁O，得出

BO

AO

=

OB1

OA1

=

3

，證△AOA₁∽△BOB₁，得出比例式，即可得出答案．

解答：解：連接OB，OB₁，
∵△ABC和△A₁B₁C₁均為等邊三角形，點O既是AC的中點，又是A₁C₁的中點，
∴OB⊥AC，B₁O⊥A₁C₁，
∴∠BOC=∠B₁OC₁=90°，
∵∠COB₁=∠COB₁，
∴∠BOB₁=∠COC₁=∠AOA₁，
AB=2AO，A₁B₁=2A₁O，
由勾股定理得：OB=

3

AO，OB₁=

3

A₁O，
即

BO

AO

=

OB1

OA1

=

3

，
∵∠BOB₁=∠COC₁=∠AOA₁，
∴△AOA₁∽△BOB₁，
即AA₁：BB₁=1：

3

．
故答案為：1：

3

．

點評：本題考查了等邊三角形性質和相似三角形的性質和判定的應用，注意：有兩邊成比例，且夾角相等的兩三角形相似，等腰三角形具有三線合一的性質，題目比較典型，但有一點難度．