Question

如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)在⊙O上，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若DE=4，AD=6，求⊙O半徑．

Answer 1

分析：（1）證明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）通過(guò)證明Rt△BAD∽R(shí)t△AED，再利用對(duì)應(yīng)邊成比例關(guān)系從而求出⊙O半徑的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OA．
∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ODA．（1分）
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA，
∴∠OAD=∠EDA．（1分）
∵∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°．（1分）
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線(xiàn)．（1分）

（2）解：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∵∠AED=90°，∠ADE=∠ADB，（1分）
∴Rt△BAD∽R(shí)t△AED．（1分）
∴

DE

AD

=

AD

BD

．（1分）
∴BD=

AD2

DE

=

62

4

=9，
即⊙O是半徑為4.5．（1分）

點(diǎn)評(píng)：主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，及切線(xiàn)的求法等知識(shí)點(diǎn)的掌握情況．