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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】問題探究:

          (1)如圖①,邊長為4的等邊△OAB位于平面直角坐標系中,將△OAB折疊,使點B落在OA的中點處,則折痕長為  ;

          (2)如圖②,矩形OABC位于平面直角坐標系中,其中OA=8,AB=6,將矩形沿線段MN折疊,點B落在x軸上,其中AN=AB,求折痕MN的長;

          問題解決:

          (3)如圖③,四邊形OABC位于平面直角坐標系中,其中OA=AB=6,CB=4,BC∥OA,AB⊥OA于點A,點Q(4,3)為四邊形內部一點,將四邊形折疊,使點B落在x軸上,問是否存在過點Q的折痕,若存在,求出折痕長,若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)2;

          (2)MN的長為

          (3)折痕的長為5或

          【解析】(1)如圖1中,B的對稱點B/,折痕為MN,MN交BB/于H. 只要證明折痕是△ABC的中位線即可.

          (2)如圖2中,B的對稱點B/,折痕為MN,MN交BB/于H,求出直線MN的解析式即可解決問題.

          (3)存在. 如圖3中,延長BQ交OA于B//,連接AQ,過點作Q作MN∥OA,交OC于M,交AB于N,可以證明線段MN計算折痕;作BB//的垂直平分線PF,交OC于P,交AB于F,此時B、B//關于直線PF對稱,線段PF也是折痕,分別求出MN、PF即可解決問題.

          解:(1)如圖1中,B的對稱點B′,

          折痕為MN,MN交BB′于H.

          ∵△ABC是等邊三角形,OB′=B′A,∴BB′⊥OA,又∵BB′⊥MN,

          ∴MN∥OA,∵BH=HB′,∴BM=OM,BN=NA,

          ∴MN是△ABC的中位線,∴MN=OA=2.故答案為2.

          (2)如圖2中,B的對稱點B′,折痕為MN,MN交BB′于H

          ∵AN=AB=2,∴NB=NB′=4,

          在Rt△ANB′中,AB′==2,∴OB′=8﹣2,

          ∴點B′(8﹣2,0),∵B(8,6),

          ∴BB′中點H(8﹣,3),∵點N坐標(8,2),

          設直線NH解析式為y=kx+b,則有解得,

          ∴直線NH解析式為y=﹣x+2+,∴點M坐標(0,2+),

          ∴MN==

          (3)存在.理由:如圖3中,延長BQ交OA于B″,連接AQ,過點Q作MN∥OA,交OC于M,交AB于N.

          ∵Q(4,3),∴N(6,3),∴BN=AN.QB=QB″,

          作BB″的垂直平分線PF,交OC于P,交AB于F,此時B、B″關于直線PF對稱,滿足條件,

          在Rt△ABB″中,∵∠BAB″=90°,BQ=QB″,∴AQ=QB,

          ∴此時B、A(B′)關于直線MN對稱,滿足條件.∵C(2,6),

          ∴直線OC解析式為y=3x,∵NM∥OA,BN=NA,∴CM=OM,∴點M(1,3),

          ∴MN=5,∵B(6,6),B″(2,0),∴可得直線BB″的解析式為y=x﹣3,

          ∴過點Q垂直BB″的直線PF的解析式為y=﹣x+,

          解得,∴點P(,),F(6,),

          ∴PF==,綜上所述,折痕的長為5或

          “點睛”本題考查四邊形綜合題、一次函數、勾股定理、線段垂直平分線性質,兩條直線垂直k的乘積為-1等知識,解題的關鍵是靈活待定系數法確定函數解析式,學會利用解方程組求兩個函數的交點坐標,屬于中考壓軸題.

          練習冊系列答案
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          售價(元/件)

          ……

          55

          60

          70

          ……

          銷量(件)

          ……

          75

          70

          60

          ……

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          每天使用零花錢(單位:元)

          1

          2

          3

          4

          5

          人數

          2

          5

          8

          9

          6

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          B.4,3.5
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