Question

（2013•宛城區(qū)一模）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：
①分別以A，C為圓心，以大于

1

2

AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；
②作直線MN，分別交于AB，AC于點D，O；
③過C作CE∥AB交MN于點E，連接AE，CD．
（1）求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）當∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周長為18時，tan∠DAO=

3

4

．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)作法可知：直線DE是線段AC的垂直平分線進而得到AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO，然后證明△AOD≌△COE，進而得到OD=OE，從而可判定四邊形ADCE是菱形；
（2）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥DE，AO=CO，然后證明DO=

1

2

BC=3，再利用勾股定理計算出AO的長，進而得到答案．

解答：（1）證明：由作法可知：直線DE是線段AC的垂直平分線，
∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO．
又∵CE∥AB，
∴∠ADO=∠CEO．
在△ADO和△CEO中，

AO=CO ∠AOD=∠COE ∠ADO=∠CEO

，
∴△AOD≌△COE（AAS）．
∴OD=OE．
∴四邊形ADCE是平行四邊形．
又AD=CD，
∴四邊形ADCE是菱形．

（2）解：∵四邊形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，
∴∠AOD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴DC∥CB，
∴△ADO∽△ABC，
∴

AO

AC

=

DO

CB

=

1

2

，
∵BC=6，
∴DO=3，
∵AD=DC，AO=CO，△ADC的周長為18，
∴AD+AO=9，
設AO=x，則AD=9-x，
（9-x）²=3²+x²，
解得：x=4，
∴tan∠DAO=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點評：此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應用，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法．