Question

【題目】如圖，直線(xiàn)： 與軸、軸分別交于點(diǎn)B、C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若點(diǎn)P在直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)P作PD∥軸交于點(diǎn)D，PE∥軸交于點(diǎn)E，

求PD+PE的最大值；

（3）設(shè)F為直線(xiàn)上的點(diǎn)，以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形？若能，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為（2）當(dāng)時(shí)，PD+PE的最大值是3（3）能，以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成平行四邊形．此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（3， ）或F（1， ）

【解析】試題分析: （1）在中求出和時(shí)與的值可得點(diǎn) 的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可得拋物線(xiàn)解析式；
（2）設(shè)P（， ），則D（， ），

E（， ），用表示出,配方即可求出最大值.

（3）令，求出點(diǎn)坐標(biāo),求出的值,然后分類(lèi)討論.

試題解析:

（1）∵直線(xiàn)與軸、軸分別交于點(diǎn)B、C，

∴B（2，0）、C（0，1），

∵B、C在拋物線(xiàn)解上，

∴，

解得： ，

∴拋物線(xiàn)的解析式為．

（2）設(shè)P（， ），

∵PD∥軸，PE∥軸，點(diǎn)D，E都在直線(xiàn)上，

∴E（， ），D（， ），

∴PD+PE=,

,

，

∴當(dāng)時(shí)，PD+PE的最大值是3．

（3）能，理由如下：

由，令，

解得： ， ，

∴A（，0），B（2，0），

∴，

若以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成平行四邊形，

①當(dāng)以AB為邊時(shí)，則AB∥PF且AB=PF，

設(shè)P（， ），則F（， ），

∴，

整理得： ，

解得： ， （與A重合，舍去），

∴F（3， ），

②當(dāng)以AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，連接PF交AB于點(diǎn)G，則AG=BG，PG=FG，

設(shè)G（m，0），

∵A（，0），B（2，0），

∴m-=2-m，∴m=，

∴G（，0），

作PM⊥AB于點(diǎn)M，FN⊥AB于點(diǎn)N，則NG=MG，PM=FN，

設(shè)P（， ），則F（， ），

∴，

整理得： ，

解得： ， （與A重合，舍去），

∴F（1， ）．

綜上所述，以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成平行四邊形．此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（3， ）或F（1， ）．