Question

如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2厘米，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F，分別從點(diǎn)B，點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A-D-C以2厘米/秒的速度向C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E離開(kāi)B的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段EF與BC平行？
（2）設(shè)1＜t＜2，當(dāng)t為何值時(shí)，EF與半圓相切？

Answer 1

分析：（1）如果EF∥BC，那么根據(jù)ABCD是正方形可知BEFC是矩形，則BE=CF，據(jù)此列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即為本問(wèn)答案．
（2）如果EF與半圓相切，那么根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得EF=BE+CF，則EF可用含t的代數(shù)式表示，過(guò)F點(diǎn)作KF∥BC交AB于K，得∠EKF=90°，KF=2，EK=BE-CF，EF也用含t的代數(shù)式表示，根據(jù)勾股定理得EF²=EK²+FK²列出關(guān)于關(guān)于t的方程，求出方程的解，再根據(jù)1＜t＜2來(lái)進(jìn)行取舍．

解答：解：（1）設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，EF∥BC（如圖甲），
則BE=t，CF=4-2t，即有t=4-2t，
解得：t=

4

3

，
答：當(dāng)t=

4

3

秒時(shí)，線段EF與BC平行．

（2）設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，EF與半圓相切（如圖乙），
過(guò)F點(diǎn)作KF∥BC交AB于K，
則BE=t，CF=4-2t，EK=t-（4-2t）=3t-4，
∵EF與半圓相切，
∴EF=EH+FH=EB+FC=t+（4-2t）=4-t，
又∵EF²=EK²+FK²，
∴（4-t）²=（3t-4）²+2²，即2t²-4t+1=0，
解得t=

2± 2

2

，
∵1＜t＜2，
∴t=

2+ 2

2

，
∴當(dāng)t為

2+ 2

2

秒時(shí)，EF與半圓相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合，涉及了切線的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用及一元二次方程的解，由于E，F(xiàn)是動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)已知條件確定他們的大致位置是本題的關(guān)鍵．