Question

【題目】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖①，是等腰直角三角形，四邊形是正方形，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是 ．

（2）深入探究

如圖②，是等腰直角三角形，四邊形是正方形，點(diǎn)在直線上，對(duì)角線所在的直線交直線于點(diǎn)，則線段之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)僅就圖②給出證明．

（3）拓展思維

如圖②，若點(diǎn)在直線上，且線段，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)正方形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見(jiàn)解析；（3）5或13

【解析】

（1）根據(jù)已知可得CF⊥BC，AD⊥BC，即可得出BD⊥CF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出BD=CF；

（2）連接DF，GF，先證明△BAD≌△CAF，再根據(jù)勾股定理即可證明；

（3）分①當(dāng)D在BC上時(shí)和②當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，兩種情況結(jié)合正方形的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行討論求解即可．

解：（1）BD=CF，BD⊥CF

∵ADEF是正方形，

∴∠ADE=∠FCD=90°，AD=CD=CF=AF，

∴CF⊥BC，AD⊥BC，

∴BD⊥CF，

∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，

∴D是BC中點(diǎn)，

∴BD=CD，

∴BD=CF；

（2）BD2+CG2=DG2，

證明：連接DF，GF，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AE垂直平分DF，AD=AF，∠DAF=90°，

∴DG=FG，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，

∴∠GCF=∠ACB+∠ACF=90°，

在Rt△GCF中，由勾股定理，得CF2+CG2=FG2，

∴BD2+CG2=DG2；

（3）①當(dāng)D在BC上時(shí)，

如圖，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于點(diǎn)H，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AH=BH=BC=2，

∵BD=1，

∴DH=BH-BD=1，

∴在Rt△ADH中，AD==，

∴S正方形ADEF=AD2=5；

②當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

如圖，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于點(diǎn)H，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AH=BH=BC=2，

∵BD=1，

∴DH=BH+BD=3，

∴在Rt△ADH中，AD==，

∴S正方形ADEF=AD2=13；

綜上：正方形ADEF的面積為5或13．