Question

如圖，正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，DE=CF，AF與BE相交于O，DG⊥AF，垂足為G．

（1）求證：AF⊥BE；

（2）試探究線段AO、BO、GO的長度之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）若GO：CF=4：5，試確定E點(diǎn)的位置．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析   （2）BO=AG=AO+OG   （3）AE=AD

【解析】

試題分析：（1）證明：∵ABCD為正方形，且DE=CF，

∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，

∴△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF，又∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°，

∴∠AOE=90°，即AF⊥BE；

（2）解：BO=AO+OG．

理由：由（1）的結(jié)論可知，

∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，

則△ABO≌△DAG，

所以，BO=AG=AO+OG；

（3）解：過E點(diǎn)作EH⊥DG，垂足為H，

由矩形的性質(zhì)，得EH=OG，

∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5，

∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，

∴∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，

∴AB：BE=EH：ED=4：5，

在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，

故AE：AD=3：4，

即AE=AD．

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)證明全等三角形，相似三角形，利用線段，角的關(guān)系解題．