Question

如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，10），AB⊥OB，OA=10，將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使斜邊OA落在x軸正半軸上，記作OAˊ，點(diǎn)B的落點(diǎn)Bˊ在第一象限．
（1）在給定的坐標(biāo)系中畫出△OA'B'，并求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求過C，A，A'三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)、Aˊ、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）△OA'B'如圖所示．過點(diǎn)A作AD⊥OAˊ于D，
則四邊形OBAD為矩形，
所以AD=OB=8．
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=6，
所以O(shè)D=AB=6．
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，8）；

（2）∵C（0，10）在拋物線上，
∴c=10．
∴y=ax²+bx+10．
∵A（6，8）Aˊ（10，0）在拋物線y=ax²+bx+10上，
∴解得
∴所求解析式為．

（3）①若以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，
因OC=OAˊ且點(diǎn)C在拋物線上，
故點(diǎn)C（0，10）為所求的點(diǎn)；
②若以點(diǎn)Aˊ為直角頂點(diǎn)，則使△OPAˊ為等腰直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，10）或（10，-10）．
經(jīng)檢驗(yàn)知，這兩點(diǎn)都不在（2）中的拋物線上；
③若以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，
則使△OPAˊ為等腰直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5）或（5，-5），
經(jīng)檢驗(yàn)知，這兩點(diǎn)也都不在（2）中的拋物線上．
綜上述可知，在拋物線上只存在一點(diǎn)P（0，10），使△OPAˊ為等腰直角三角形．
分析：（1）本題需先根據(jù)圖形，再過點(diǎn)A作AD⊥OAˊ于D，得出AD、OB的值，再由勾股定理得出AB的值，從而得出OD、AB的值，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）本題需先根據(jù)C（0，10）在拋物線上得出c的值，從而得出y=ax²+bx+10，再根據(jù)A（6，8）Aˊ（10，0）在拋物線y=ax²+bx+10上，即可列出式子，解出a、b的值，即可求出所要求的解析式．
（3）本題需先根據(jù)題意，分三種情況進(jìn)行討論，若分別以O(shè)、Aˊ、P為頂點(diǎn)，分別得出P點(diǎn)的存在或不存在，即可得出正確答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，在解題時(shí)要注意知識(shí)的綜合應(yīng)用以及解析式、坐標(biāo)的求法是本題的關(guān)鍵．