Question

如圖，△ABC是等邊三角形，D為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DE∥BC，延長(zhǎng)BC到F，使CF=AD，連接DF交AC于P．
（1）求證：EP=CP；
（2）若△ABC的邊長(zhǎng)為a，CF長(zhǎng)為b，且a、b滿足(a-5)2+

b-3

=0，求CP長(zhǎng)；
（3）若△ABC的邊長(zhǎng)為5，設(shè)CF=x，CP=y，求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠A=∠B=∠ACB=60°，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠ADE=∠AED=60°=∠A，得出△ADE是等邊三角形，推出DE=AE=AD，推出DE=CF，證出△DEP≌△FCP即可．
（2）得出a-5=0，b-3=0，求出AC=BC=AB=5，CF=AE=DE=3，即可得出答案．
（3）求出AE=CF=x，CP=EP=y，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠AED=60°=∠A，
即△ADE是等邊三角形，
∴DE=AE=AD，
∵CF=AD，
∴DE=CF，
∵DE∥BC，
∴∠DEP=∠FCP，
在△DEP和△FCP中

∠EPD=∠FPC ∠DEP= DE=CF

∴△DEP≌△FCP（AAS），
∴EP=CP．

（2）解：∵(a-5)2+

b-3

=0，
∴a-5=0，b-3=0，
a=5，b=3，
即AC=BC=AB=5，CF=AE=DE=3，
∴CP=EP=

1

2

（5-3）=1．

（3）解：∵△ABC的邊長(zhǎng)為5，CF=x，CP=y，
∴AE=CF=x，CP=EP=y，
y與x間的函數(shù)關(guān)系是：y=

1

2

（5-x）
y=-

1

2

x+

5

2

（0≤x＜5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．