Question

已知：反比例函數(shù)的圖象在第一象限的分支上有n個(gè)點(diǎn)A₁（1，y₁），A₂（2，y₂），…，A_n（n，y_n），設(shè)直線A₁A₂的解析式為y=k₁x+b₁，A₂A₃的解析式為y=k₂x+b₂，…，A_nA_n+1的解析式為y=k_nx+b_n．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，k₁=______；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，k₁+k₂+k₃=______；
（3）①當(dāng)m=2時(shí)，求k₁+k₂+k₃+…+k₂₀的值，并寫出求解過程．
　　 ②用m、n表示k₁+k₂+k₃+…+k_n的值（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，反比例函數(shù)的解析式為y=，
∴點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（2，），
把點(diǎn)A₁（1，1），點(diǎn)A₂（2，）代入y=k₁x+b₁得
k₁+b₁=1①，
2k₁x+b₁=②
∴②-①得k₁=-1=-；
故答案為-；

（2）當(dāng)m=1時(shí)，反比例函數(shù)的解析式為y=，
點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（2，），點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)A₄的坐標(biāo)為（4，），
與（1）一樣，k₂=-，k₃=-，
∴k₁+k₂+k₃=-1+-+-=-1+=-；
故答案為-；

（3）①當(dāng)m=2時(shí)，反比例函數(shù)的解析式為y=，
∴點(diǎn)A₁坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)A₂坐標(biāo)為（2，），點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)A₄的坐標(biāo)為（4，），…，點(diǎn)A₂₀坐標(biāo)為（20，），點(diǎn)A₂₁坐標(biāo)為（21，），
與（1）一樣，k₁=-，k₂=-，k₃=-，…，k₂₀=-，
∴k₁+k₂+k₃+…+k₂₀=-+-+-+…+-=-2+=-；
②點(diǎn)A₁坐標(biāo)為（1，m），點(diǎn)A₂坐標(biāo)為（2，），點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)A₄的坐標(biāo)為（4，），…，點(diǎn)A_n坐標(biāo)為（n，），點(diǎn)A_n+1坐標(biāo)為（n+1，）．
與（1）一樣，k₁=-m，k₂=-，k₃=-，…，k_n=-，
∴k₁+k₂+k₃+…+k_n=-m+-+-+…+-=-m+=-．
分析：（1）由反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=可確定點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（2，），再把它們代入y=k₁x+b₁得到k₁+b₁=1①，2k₁x+b₁=②，然后用②-①可求得k₁=-1=-；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，反比例函數(shù)的解析式為y=，可確定點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（2，），點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)A₄的坐標(biāo)為（4，），與（1）一樣得到k₂=-，k₃=-，易得到k₁+k₂+k₃的值；
（3）①當(dāng)m=2時(shí)，反比例函數(shù)的解析式為y=，先確定點(diǎn)A₁坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)A₂坐標(biāo)為（2，），點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)A₄的坐標(biāo)為（4，），…，點(diǎn)A₂₀坐標(biāo)為（20，），點(diǎn)A₂₁坐標(biāo)為（21，），仿照（1）得到k₁=-，k₂=-，k₃=-，…，k₂₀=-，則k₁+k₂+k₃+…+k₂₀=-+-+-+…+-，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可；
②先得到點(diǎn)A₁坐標(biāo)為（1，m），點(diǎn)A₂坐標(biāo)為（2，），點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)A₄的坐標(biāo)為（4，），…，點(diǎn)A_n坐標(biāo)為（n，），點(diǎn)A_n+1坐標(biāo)為（n+1，），再同樣可得到k₁=-m，k₂=-，k₃=-，…，k_n=-，則k₁+k₂+k₃+…+k_n=-m+-+-+…+-，然后進(jìn)行分式的加減運(yùn)算即可．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式；運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；熟練掌握分?jǐn)?shù)與分式的運(yùn)算．