Question

已知△ABC，D是BC的中點，將三角板中的90°角的頂點繞D點在△ABC內旋轉，角的兩邊分別與AB、AC交于E、F，且點E、F不與A、B、C三點重合．
（1）如果∠A=90°，觀察并探索，當E、F點位置變化時，BE、EF、CF三條線段中有否有一條線段始終最長．請指出，并給予證明．
（2）請分別∠A＞90°、∠A＜90°兩種情況考察BE、EF、CF三條線段中有否有一條線段始終最長．如果有請，指出最長的線段，但不需證明；如果沒有，請畫草圖舉出反例．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質，推理得出三角形全等，根據全等的性質及直角三角形斜邊最大即可推理得出，
（2）根據（1）中結論即可畫圖反例圖示．

解答：解：（1）答：線段EF始終最大，證明如下：
將△FDC繞點D順時針方向旋轉180°，如圖，
∵D是BC的中點，
∴點C旋轉后與點B重合，△FDC≌△F′DB，∠FCD=F′BD，DF=DF′，FC=F′B，
連接EF、EF’，
在△EDF和△EDF’中，
∵∠EDF=90°=∠EDF，ED=ED，FD=F′D，
∴△FDE≌△F′DE，
∴EF=EF’，
在△EBF’中，∠EBF’=∠EBD+∠F’BD=∠EBD+∠FCD=180°-∠A=90°，
EF’是Rt△EBF′斜邊EF′＞EB，EF′＞BF′，
∴BE、EF、CF三條線段中，EF的長度始終最大，
（2）當∠A＜90°，BE、EF、CF三條線段中，EF始終最長，（原因∠EBF’＞180°，
當∠A＞90°，BE、EF、CF三條線段中，不存在始終最長的線段，反例如圖：

點評：本題主要考查了旋轉的性質及三角形全等證明及性質，同時考查了三角形三邊關系，難度較大．