Question

將一個(gè)直角三角形紙片OAB放置在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），若斜邊所在的直線為y=-2x+4．點(diǎn)B'是OA上的動(dòng)點(diǎn)，折疊直角三角形紙片OAB，使折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)B'重合，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．
（1）若B'與點(diǎn)O重合，直接寫(xiě)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（2）若B'與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（3）若B'D∥OB，求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）B'與點(diǎn)O重合，則CD是△AOB的中位線，根據(jù)中點(diǎn)定義進(jìn)行解答寫(xiě)出；
（2）B'與點(diǎn)A重合，則CD是AB的垂直平分線，點(diǎn)D坐標(biāo)可以根據(jù)（1）求解，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可得BC=AC，然后設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，m），分別用m表示出OC、AC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理列式求解即可求出m的值，從而點(diǎn)C的坐標(biāo)便可求出；
（3）若B'D∥OB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及折疊前后兩個(gè)圖形能夠完全重合的性質(zhì)可以得到∠OCB'=∠CBD，再根據(jù)同位角相等兩直線平行得到CB'∥BA，從而證明△COB'∽△BOA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)OB'=x₀，然后表示出OC，在Rt△B'OC中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求出x₀的值，再求出OC得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用直線AB的解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）C（0，2），D（1，2）；

（2）由y=-2x+4求得B（0，4），A（2，0）．
如圖①，折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，
則△ACD≌△BCD，BD=DA．
由（1）得D的坐標(biāo)為（1，2）
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）（m＞0）．
則BC=OB-OC=4-m．
于是AC=BC=4-m．
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC²=OC²+OA²，
即（4-m）²=m²+2²，
解得m=

3

2

．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，

3

2

)，D的坐標(biāo)為（1，2）．

（3）如圖②，折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B'，
且B'D∥OB．
則△B'CD≌△BCD，∠OCB'=∠CB'D．
又∵∠CBD=∠CB'D，
∴∠OCB'=∠CBD，有CB'∥BA．
∴Rt△COB'∽R(shí)t△BOA．
有

OB′

OA

=

OC

OB

，得OC=2OB'．
在Rt△B'OC中，
設(shè)OB'=x₀（x＞0），則OC=2x₀．
則B'C=BC=OB-OC=4-2x₀，
在Rt△B'OC中，由勾股定理，得B'C²=OC²+OB'²．
∴（4-2x₀）²=（2x₀）²+x₀²，
得x²₀+16x₀-16=0，
解得x0=-8±4

5

．
∵x₀＞0，
∴x0=-8+4

5

．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，8

5

-16)．
∵B'D∥OB
則可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-8+4

5

．
設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為n．
∵點(diǎn)D在直線y=-2x+4上，
∴n=-2×(-8+4

5

)+4=20-8

5

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4

5

-8，20-8

5

)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)的知識(shí)，翻折對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，并且運(yùn)算量較大，希望通過(guò)學(xué)們?cè)诮獯鹗且�仔�?xì)分析，小心計(jì)算，以避免出錯(cuò)．