Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，過點O作弦BC的平行線，交過點A的切線AP于點P，連接AC．
（1）求證：△ABC∽△POA；
（2）若OB=2，OP=，求BC的長．

Answer 1

（1）證明：∵BC∥OP
∴∠AOP=∠B
∵AB是直徑
∴∠C=90°
∵PA是⊙O的切線，切點為A
∴∠OAP=90°
∴∠C=∠OAP
∴△ABC∽△POA；

（2）解：∵△ABC∽△POA
∴
∵OB=2，PO=
∴OA=2，AB=4
∴
∴BC=8
∴BC=．
分析：（1）由BC∥OP可得∠AOP=∠B，根據直徑所對的圓周角為直角可知∠C=90°，再根據切線的性質知∠OAP=90°，從而可證△ABC∽△POA；
（2）根據△ABC∽△POA，和已知邊的長可將BC的長求出．
點評：本題主要考查相似三角形的性質與判定、切線的性質等知識，綜合性比較強．