Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x﹣3a經(jīng)過A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三點(diǎn)．

（1）求b，c的值；

（2）在拋物對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=﹣3；（2）P（﹣1，﹣2）；（3）存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形．符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）．

【解析】

（1）先把A（1，0）代入拋物線y=ax2+2x﹣3a，求出a的值，然后再分別把B（b，0）、C（0，c）的值代入即可求出b，c的值；

（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)找出點(diǎn)P的位置，然后求出直線BC的解析式和對(duì)稱軸方程，二者聯(lián)立可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）分當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)兩種情況求解即可.

解：（1）把A（1，0）代入拋物線y=ax2+2x﹣3a，

可得：a+2﹣3a=0

解得a=1．

∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3；

把B（b，0），C（0，c）代入y=x2+2x﹣3，

可得：b=1或b=﹣3，c=﹣3，

∵A（1，0），

∴b=﹣3；

（2）∵拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3，

∴其對(duì)稱軸為直線x=﹣=﹣1，

連接BC，如圖1所示，

∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），

∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為y=﹣x﹣3，

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=1﹣3=﹣2，

∴P（﹣1，﹣2）；

（3）存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形．

如圖2所示，

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，C（0，﹣3），

∴N1（﹣2，﹣3）；

②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，

如圖2，過點(diǎn)N'作N'D⊥x軸于點(diǎn)D，

在△AN'D與△M'CO中，

∴△AN'D≌△M'CO（AAS），

∴N'D=OC=3，即N'點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 3．

∴3=x2+2x﹣3，

解得x=﹣1+或x=﹣1﹣，

∴N'（﹣1+，3），N“（﹣1﹣，3）．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）．