Question

已知，如圖甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且FD⊥BC于D．
（1）試說(shuō)明：∠EFD=

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2

（∠C-∠B）；
（2）當(dāng)F在AE的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖乙，其余條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義得到∠BAE=

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∠BAC=

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2

（180°-∠B-∠C）=90°-

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（∠B+∠C），求得∠FEC，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得∠EFD的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）可以得到∠AEC=90°+

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2

（∠B-∠C），根據(jù)對(duì)頂角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解．

解答：解：∵FD⊥EC，
∴∠EFD=90°-∠FEC，
∴∠FEC=∠B+∠BAE，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）
=90°-

1

2

（∠B+∠C），
則∠FEC=∠B+90°-

1

2

（∠B+∠C）
=90°+

1

2

（∠B-∠C），
則∠EFD=90°-[90°+

1

2

（∠B-∠C）]
=

1

2

（∠C-∠B）；
（2）成立．
證明：同（1）可證：∠AEC=90°+

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2

（∠B-∠C），
∴∠DEF=∠AEC=90°+

1

2

（∠B-∠C），
∴∠EFD=90°-[90°+

1

2

（∠B-∠C）]
=

1

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（∠C-∠B）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及外角和定理，角平分線的定義，正確求得：∠AEC=90°+

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（∠B-∠C）是關(guān)鍵．