Question

如圖，點M（4，0），以點M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點A、B。已知拋物線y=x²+bx+c過點A和B，與y軸交于點C。

（1）求點C的坐標；
（2）點Q（8，m）在拋物線y=x²+bx+c上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是過點C的⊙M的切線，點E是切點，求OE所在直線的解析式。

Answer 1

解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0）
∵　拋物線過點A和B，則
解得

則拋物線的解析式為：
故　C（0，2）；
（2）如圖①，拋物線對稱軸l是：x=4
∵Q（8，m）拋物線上
∴m=2
過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK=2，AK=6
∴AQ=
又∵B（6，0）與A（2，0）關于對稱軸l對稱
∴PQ+PB的最小值=AQ=
；
（3）如圖②，連結EM和CM

由已知，得EM=OC=2，CE是⊙M的切線
∴∠DEM=90^o，則∠DEM=∠DOC
又∵∠ODC=∠EDM
故△DEM≌△DOC
∴OD=DE，CD=MD
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC
則OE∥CM
設CM所在直線的解析式為y=kx+b，CM過點C（0，2），M（4，0）
∴解得
直線CM的解析式為
又∵直線OE過原點O，且OE∥CM
則OE的解析式為y=x。