Question

如圖，△ABC是等邊三角形，⊙O過點B，C，且與BA，CA的延長線分別交于點D，E．弦DF∥AC，EF的延長線交BC的延長線于點G．
（1）求證：△BEF是等邊三角形；
（2）若⊙O的半徑為2，求△BEF的面積．
（3）若BA=4，CG=2，求BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形ABC是等邊三角形，得到∠BCA=∠BAC=60°，再根據(jù)圓周角定理的推論得到∠BFE=∠BCA=60°．根據(jù)兩條平行弦所夾的弧相等證明弧DE=弧CF，從而得到∠EBD=∠CBF，∠EBF=∠ABC=60°，從而證明結論；
（2）利用等邊三角形的內外心重合得出∠OFM=30°，再利用半徑為2，求出S_△BOF=×OM×BF進而得出△BEF的面積為：3S_△BOF得出答案即可；
（3）結合等邊三角形的邊相等，盡量能夠把已知的線段和未知的線段放到兩個相似三角形中，進行求解．
解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BCA=∠BAC=60°，
∵DF∥AC，
∴∠D=∠BAC=60°，∠BEF=∠D=60°
又∵∠BFE=∠BCA=60°，
∴△BEF是等邊三角形．

（2）解：連接AF，過點O作OM⊥BF于點M，
∵△BEF是等邊三角形，
∴∠OFM=30°，
∵AF=2，
∴AM=×2=1，
∴MF=，
∴BF=2，
∴S_△BOF=×OM×BF=×1×2=；
∴△BEF的面積為：3S_△BOF=3×=3．

（3）解：∵∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠FBG=∠ABE，
又∵∠BFG=∠BAE=120°，
∴△BFG∽△BAE，
∴=，
又BG=BC+CG=AB+CG=6，BE=BF，
∴BF²=AB•BG=24，
可得BF=2或-2（舍去）．
點評：此題主要考查了圓周角定理、兩條平行弦所夾的弧相等的性質以及等邊三角形的性質和判定、相似三角形的性質和判定，熟練利用等邊三角形的性質得出是解題關鍵．