Question

（1998•寧波）某房地產(chǎn)公司要在一地塊（圖中矩形ABCD）上，規(guī)劃建造一個(gè)小區(qū)公園（矩形GHCK），為了使文物保護(hù)區(qū)△AEF不被破壞，矩形公園的頂點(diǎn)G不能在文物保護(hù)區(qū)內(nèi)，已知AB=200m，AD=160m，AE=60m；AF=40m．
（1）當(dāng)矩形小區(qū)公園的頂點(diǎn)G恰是EF的中點(diǎn)時(shí)，求公園的面積；
（2）當(dāng)G在EF上什么位置時(shí)，公園面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）本題中我們可設(shè)DK的值是xm，那么根據(jù)∠FEA的正切值，我們不難得出BH=（40-x）m，此時(shí)便可根據(jù)矩形的面積公式，用DK、BH表示出KC、CH，以得出公園的面積與DK的函數(shù)關(guān)系式，然后G在EF中點(diǎn)時(shí)，DK=30m，可將x=30代入函數(shù)式中求出公園的面積．
（2）根據(jù)（1）得出的函數(shù)的性質(zhì)，即可得出公園的最大值以及此時(shí)DK的長(zhǎng)，有了DK的長(zhǎng)，就能求出G在EF上的位置了．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AD于P，作GQ⊥AB于Q，
∴∠FPG=∠GQE=90°，
∵EG=FG，
∵PH∥AB，
∴∠FGP=∠GEQ，
∴△FPG≌△GQE（AAS），
∴GQ=FP，QE=PG，
∴DK=QE，F(xiàn)P=BH，
∴FP：DK=AF：AE=2：3，
設(shè)DK=xm，那么BH=（40-x）m；
設(shè)公園的面積為ym²，由題意可知：
y=（200-x）（160-40+x）=-x²+x+24000（0≤x≤60）
當(dāng)G在EF中點(diǎn)時(shí)，∵AE=60m，
∴DK=30m．
那么y=（200-30）×（160-40+20）=23800m²．
即當(dāng)頂點(diǎn)G在EF中點(diǎn)時(shí)，公園的面積是23800平方米．

（2）由（1）的函數(shù)關(guān)系式知
y=-（x-10）²+，
因此當(dāng)x=10時(shí)公園的面積最大，此時(shí)即當(dāng)GF=EF時(shí)，公園的面積最大．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，弄清楚DK，BH之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．