Question

如圖，直線y=-

3

4

x+3交x軸于點A，交y軸于點B，第一象限內(nèi)的點P（a，b）是經(jīng)過點B的直線n上的一點，過點P作PD⊥y軸于點D，連結(jié)PA．
（1）求點A、B的坐標；
（2）若△ABO與△BDP全等，試求直線n的函數(shù)解析式；
（3）將△ABP沿直線m對折，點P恰好與點O重合，試求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）對于直線m，令x與y分別為0求出對應(yīng)y與x的值，即可確定出A與B的坐標；
（2）分兩種情況考慮：當△BDP≌△AOB時，BD=AO=4，DP=BO=3，由OB+BD求出OD的長，得到P的坐標，設(shè)直線n為y=kx+b，將B與P坐標代入得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可求出此時直線n解析式；當△PDB≌△AOB時，BD=OB=3，PD=OA=4，由OB+BD求出OD的長，求出P的坐標，設(shè)直線n為y=mx+n，將B與P代入得到關(guān)于m與n的方程組，求出方程組的解得到m與n的值，即可確定出直線n的解析式；
（3）過O與P作直線OP，與AB交于點Q，將△ABP沿直線m對折，點P恰好與點O重合時，△AOB≌△APB，可得出BO=BP，OA=PA，進而確定出AB垂直平分線段OP，由直線AB的斜率求出直線OP的斜率，求出直線OP的解析式，與直線AB解析式聯(lián)立求出Q的坐標，由Q為線段OP的中點，利用中點坐標公式即可求出P的坐標．

解答：解：（1）對于直線y=-

3

4

x+3，令x=0，得到y(tǒng)=3；令y=0，得到x=4，
則A（4，0），B（0，3）；
（2）當△BDP≌△AOB時，BD=AO=4，DP=BO=3，
∴OD=OB+BD=3+4=7，
∴P（3，7），
設(shè)直線n為y=kx+b，將B與P坐標代入得：

b=3 3k+b=7

，
解得：

k= 4 3 b=3

，
此時直線n解析式為y=

4

3

x+3；
當△PDB≌△AOB時，BD=OB=3，PD=OA=4，
∴OB+BD=3+3=6，
∴P（4，6），
設(shè)直線n為y=mx+n，將B與P代入得：

b=3 4k+b=6

，
解得：

k= 3 4 b=3

，
此時直線n解析式為y=

3

4

x+3；
（3）過O與P作直線OP，與AB交于點Q，
將△ABP沿直線m對折，點P恰好與點O重合時，△AOB≌△APB，
∴BO=BP，OA=PA，
∴直線AB垂直平分線段OP，
∵直線AB解析式為y=-

3

4

x+3，斜率為-

3

4

，
∴直線OP斜率為

4

3

，即直線OP解析式為y=

4

3

x，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：

y= 4 3 x y=- 3 4 x+3

，
解得：

x= 36 25 y= 48 25

，
∴Q（

36

25

，

48

25

），
∵Q為線段OP的中點，
∴P（

72

25

，

96

25

）．

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：直線與坐標軸的交點，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩直線的交點，折疊的性質(zhì)，以及線段中點坐標公式，是一道中檔題．