Question

（2013•鎮(zhèn)江）【閱讀】
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（a，0）（a＞0），B（2，3），C（0，3）．過原點(diǎn)O作直線l，使它經(jīng)過第一、三象限，直線l與y軸的正半軸所成角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，我們把這個(gè)操作過程記為FZ[θ，a]．
【理解】
若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，則這個(gè)操作過程為FZ[

45°

，

3

]；
【嘗試】
（1）若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)（如圖2），求θ；
（2）經(jīng)過FZ[45°，a]操作，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，若點(diǎn)E在四邊形0ABC的邊AB上，求出a的值；若點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部，直接寫出a的取值范圍；
【探究】
經(jīng)過FZ[θ，a]操作后，作直線CD交x軸于點(diǎn)G，交直線AB于點(diǎn)H，使得△ODG與△GAH是一對(duì)相似的等腰三角形，直接寫出FZ[θ，a]．

Answer 1

分析：【理解】
由折疊性質(zhì)可以直接得出．
【嘗試】
（1）如答圖1所示，若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)，連接CD并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F．證明△BCD≌△AFD，進(jìn)而得到△OCD為等邊三角形，則θ=30°；
（2）如答圖2所示，若點(diǎn)E在四邊形0ABC的邊AB上，則△ADE為等腰直角三角形，由此求出a=OA=OD+OA=5；由答圖2進(jìn)一步得到，當(dāng)0＜a＜5時(shí)，點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部．
【探究】
滿足條件的圖形有兩種，如答圖3、答圖4所示，

解答：解：【理解】
若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，由折疊性質(zhì)可知，OA=OC=3，θ=

1

2

∠AOC=45°，
∴FZ[45°，3]．

【嘗試】
（1）如答圖1所示，連接CD并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)F．

在△BCD與△AFD中，

∠BDC=∠ADF BD=AD ∠CBD=∠FAD

∴△BCD≌△AFD（ASA）．
∴CD=FD，即點(diǎn)D為Rt△COF斜邊CF的中點(diǎn)，
∴OD=

1

2

CF=CD．
又由折疊可知，OD=OC，
∴OD=OC=CD，
∴△OCD為等邊三角形，∠COD=60°，
∴θ=

1

2

∠COD=30°；
（2）經(jīng)過FZ[45°，a]操作，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，則點(diǎn)D落在x軸上，AB⊥直線l，
如答圖2所示：

若點(diǎn)E在四邊形0ABC的邊AB上，
由折疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2．
∵AB⊥直線l，θ=45°，
∴△ADE為等腰直角三角形，
∴AD=DE=2，
∴OA=OD+AD=3+2=5，
∴a=5；
由答圖2可知，當(dāng)0＜a＜5時(shí)，點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部．

【探究】
FZ[30°，2+

3

]，F(xiàn)Z[60°，2+3

3

]．
如答圖3、答圖4所示．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何變換綜合題型，考查了翻折（折疊）變換、全等三角形、相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．解題關(guān)鍵是正確理解題目給出的變換的定義，并能正確運(yùn)用折疊的性質(zhì)．第（3）問中，有兩種情形符合條件，需要分別計(jì)算，避免漏解．