Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，M是OA上一點，過M作AB的垂線交BC的延長線于點E，過點C作⊙O的切線，交ME于點F．

（1）求證：EF=CF；
（2）若∠B=2∠A，AB=4，且AC=CE，求BM的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：延長FC至H，如圖所示：

∵⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，

∴AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵EM⊥AB，

∴∠EMB=∠ACB=90°，

∵∠ABC=∠EBM，

∴△ABC∽△EMB，

∴∠CEF=∠CAB，

∵FC是⊙O的切線，

∴∠CAB=∠BCH，

∵∠BCH=∠ECF

∴∠CAB=∠ECF，

∴∠CEF=∠ECF，

∴EF=CF；

（2）解：∵∠ACB=90°，∠B=2∠A，

∴∠B=60°，∠A=30°，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，

∴BC= AB=2，AC= BC=2 ，

∵AC=CE，

∴CE=2 ，

∴BE=BC+CE=2+2 ，

在Rt△BEM中，∠BME=90°，∠BEM=∠A=30°

∴BM= BE=1+ ．

【解析】（1）延長FC至H，由AB是⊙O的直徑，得出∠ACB=90°，由EM⊥AB，得出∠EMB=∠ACB=90°，證得△ABC∽△EMB，得出∠CEF=∠CAB，由弦切角定理得出∠CAB=∠BCH，由對頂角相等得出∠BCH=∠ECF，推出∠CEF=∠ECF，即可得出結(jié)論；（2）利用含30度的直角三角形三邊的性質(zhì)得出BC= AB=2，AC= BC=2 ，則CE=2 ，所以BE=BC+CE=2+2 ，然后在Rt△BEM中計算出BM= BE即可．
【考點精析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心和切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識點，需要掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑才能正確解答此題．