Question

電焊工想利用一塊邊長為a的正方形鋼板ABCD做成一個(gè)扇形，于是設(shè)計(jì)了以下三種方案：
方案一：如圖1，直接從鋼板上割下扇形ABC．
方案二：如圖2，先在鋼板上沿對(duì)角線割下兩個(gè)扇形，再焊接成一個(gè)大扇形（如圖3）．
方案三：如圖4，先把鋼板分成兩個(gè)相同的小矩形，并在每個(gè)小矩形里割下兩個(gè)小扇形，然后將四個(gè)小扇形按與圖3類似的方法焊接成一個(gè)大扇形．

（1）容易得出圖1、圖3中所得扇形的圓心角均為90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圓心角也為90°嗎？為什么？
（2）容易得出圖1中扇形與圖3中所得大扇形的面積相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面積也與方案二所焊接成的大扇形的面積相等嗎？若不相等，面積是增大還是減��？為什么？
（3）若將正方形鋼板按類似圖4的方式割成n個(gè)相同的小矩形，并在每個(gè)小矩形里割下兩個(gè)小扇形，然后將這2n個(gè)小扇形按類似方案三的方式焊接成一個(gè)大扇形，則當(dāng)n逐漸增大時(shí)，所焊接成的大扇形的面積如何變化？

Answer 1

分析：（1）取AB的中點(diǎn)M，取GH的中點(diǎn)N，連接MN，GM，得出正方形AMNG，求出∠MBG+∠MGB=45°，根據(jù)大邊對(duì)大角得出∠MBG＞22.5°，求出圓心角大于90°；
（2）根據(jù)扇形的面積公式，

nπr2

360

中

πr2

360

不變，n越來越大，得出扇形面積越來越大，即可得出答案；
（3）根據(jù)n越來越大得出圓心角越來越大，根據(jù)扇形面積公式即可得出答案．

解答：（1）解：大于90°，
理由是：
取AB的中點(diǎn)M，取GH的中點(diǎn)N，連接MN，GM，
則四邊形AMNG是正方形，
∠AMG=45°，
即∠MBG+∠MGB=45°，
∵GM＞AM．AM=BM，
∴∠MBG＞∠MGB，
∴∠MBG＞22.5°，
∴4∠MBG＞4×22.5，
即組成的扇形的圓心角大于90°．

（2）解：面積增大了，
理由是：∵扇形的面積是

nπr2

360

，而

πr2

360

是一個(gè)常數(shù)，
n大于90°，
∴按方案三所焊成的大扇形的面積大于按方案二所焊接成的大扇形的面積．

（3）解：∵n越大，所焊接的扇形的圓心角越大，
又∵

πr2

360

不變，
∴扇形的面積也越來越大，
即當(dāng)n逐漸增大時(shí)，所焊接成的大扇形的面積也逐漸增大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，扇形的面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，但是有一定的難度．