Question

（2012•濟(jì)南）如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2

3

，AC，BD相交于點(diǎn)O．
（1）求邊AB的長；
（2）如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點(diǎn)G．
①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；
②旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)E為邊BC的四等分點(diǎn)時(shí)（BE＞CE），求CG的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，確定△AOB為直角三角形，然后利用勾股定理求出邊AB的長度；
（2）①本小問為探究型問題．要點(diǎn)是確定一對(duì)全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根據(jù)已知條件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等邊三角形；
②本小問為計(jì)算型問題．要點(diǎn)是確定一對(duì)相似三角形△CAE∽△CFG，由對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系求出CG的長度．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB為直角三角形，且OA=

1

2

AC=1，OB=

1

2

BD=

3

．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=

OA2+OB2

=

12+( 3 )2

=2．

（2）①△AEF是等邊三角形．理由如下：
∵由（1）知，菱形邊長為2，AC=2，
∴△ABC與△ACD均為等邊三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE與△ACF中，
∵

∠BAE=∠CAF AB=AC=2 ∠EBA=∠FCA=60°

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形．
②BC=2，E為四等分點(diǎn)，且BE＞CE，
∴CE=

1

2

，BE=

3

2

．
由①知△ABE≌△ACF，
∴CF=BE=

3

2

．
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形內(nèi)角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等邊三角形內(nèi)角），
∠EGA=∠CGF（對(duì)頂角）
∴∠EAC=∠GFC．
在△CAE與△CFG中，
∵

∠EAC=∠GFC ∠ACE=∠FCG=60°

，
∴△CAE∽△CFG，
∴

CG

CE

=

CF

AC

，即

CG

1 2

=

3 2

2

，
解得：CG=

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，綜合考查了相似三角形、全等三角形、四邊形（菱形）、三角形（等邊三角形和等腰三角形）、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．雖然涉及考點(diǎn)眾多，但本題著重考查基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大，需要同學(xué)們深刻理解教材上的基礎(chǔ)知識(shí)，并能夠熟練應(yīng)用．