Question

如圖，半圓

AB

的圓心是C，半徑是1，點D在半圓

AB

上，且CD⊥AB，分別延長BD，AD到E，F，使得圓弧

AE

和

BF

分別以B和A為它們的圓心，圓弧

EF

以D為圓心，求陰影部分AEFBDA的面積．

Answer 1

分析：由弧AB為半圓，C為圓心，CD⊥AB，得到△ADB為等腰直角三角形，CA=CB=1，則AD=BD=

2

2

AB=

2

，∠EDF=90°，得到DE=DF=2-

2

，而S_{陰影部分AEFBDA的面積}=S_扇形DEF+S_扇形BAE+S_扇形ABF-S_半圓AB-S_△ADB，然后分別根據扇形和三角形的面積公式計算即可得到陰影部分AEFBDA的面積．

解答：解：∵弧AB為半圓，C為圓心，CD⊥AB，
∴△ADB為等腰直角三角形，CA=CB=1，
∴AD=BD=

2

2

AB=

2

，∠EDF=90°，
∴DE=DF=2-

2

，
∴S_扇形DEF=

90π×(2- 2 )2

360

=

(3-2 2 )π

2

；
∴S_{陰影部分AEFBDA的面積}=S_扇形DEF+S_扇形BAE+S_扇形ABF-S_半圓AB-S_△ADB，
=

(3-2 2 )π

2

+2×

45π×22

360

-

1

2

π×1²-

1

2

×2×1，
=2π-

2

π-1．

點評：本題考查了扇形的面積公式：S=

nπR2

360

，其中n為扇形的圓心角的度數，R為圓的半徑），或S=

1

2

lR，l為扇形的弧長，R為半徑．也考查了圓周角定理及其推論．