Question

如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問：
（1）經(jīng)過多少時(shí)間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

1

9

？
（2）是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問題，可設(shè)時(shí)間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

1

9

作為相等關(guān)系；
（2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

1

9

，
則有：

1

2

（6-2x）x=

1

9

×3×6，即x²-3x+2=0，（2分）
解方程，得x₁=1，x₂=2，（3分）
經(jīng)檢驗(yàn)，可知x₁=1，x₂=2符合題意，
所以經(jīng)過1秒或2秒后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

1

9

．（4分）

（2）假設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，
由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，
因此有

AM

AN

=

DC

DA

或

AM

AN

=

DA

DC

（5分）
即

t

6-2t

=

3

6

①，或

t

6-2t

=

6

3

②（6分）
解①，得t=

3

2

；解②，得t=

12

5

（7分）
經(jīng)檢驗(yàn)，t=

3

2

或t=

12

5

都符合題意，
所以動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)后，經(jīng)過

3

2

秒或

12

5

秒時(shí)，以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似．（8分）

點(diǎn)評(píng)：主要考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)和一元二次方程的運(yùn)用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性質(zhì)，才會(huì)靈活的運(yùn)用．注意：一般關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問題，可設(shè)時(shí)間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可．