Question

23、如圖，在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E為垂足，連接AE．
（1）寫(xiě)出圖中所有相等的線(xiàn)段，并選擇其中一對(duì)給予證明；
（2）圖中有無(wú)相似三角形？若有，請(qǐng)寫(xiě)出一對(duì)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，所以CD=2ED，則可證明DE=AD，再利用三角形的內(nèi)角和定理可判斷∠DAE=∠DEA=30°，∠EAB=∠EBA=15°，∠CBE=∠BCE=45°，則圖中相似三角形和相等的線(xiàn)段都可求．

解答：解：（1）ED=DA，EA=EB=EC．
證明：
∵CE⊥BD，
∴△CED是直角三角形．
∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°．
∴CD=2DE．
∵CD=2DA，
∴DE=DA．

（2）有，△ADE∽△AEC．
由（1）的結(jié)論可知∠DAE=∠DEA=30°=∠ECA，
∴△ADE∽△AEC．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形中30°角的特殊性質(zhì)，及相似三角形的判定定理．