Question

【題目】如圖，圓C過原點(diǎn)并與坐標(biāo)軸分別交于A、D兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B為圓C圓周上一動點(diǎn)，且∠ABO=30°，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．

（1）直接寫出圓心 C 的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)△BOD為等邊三角形時，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）若以點(diǎn)B為圓心、r為半徑作圓B，當(dāng)圓B與兩個坐標(biāo)軸同時相切時，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1， ）；（2）B（﹣3， ）；（3）B（﹣﹣1， +1）或B（﹣1， ﹣1）．

【解析】試題分析：（1）連接OC并延長，交⊙C于點(diǎn)E，連接EA、ED，在直角三角形中，由30°角的性質(zhì)和直角三角形的正切值可求出ED的長；再過點(diǎn)C作CF⊥OD，垂足為F，則CF是△DEO的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）作BH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理可求B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）分為B點(diǎn)在第一象限或第二象限，設(shè)出B的坐標(biāo)，利用勾股定理可求解.

試題解析：（1）如圖1，連接OC并延長，交⊙C于點(diǎn)E，連接EA、ED．

因為∠ABO=30°，

∴∠AEO=30°，又因為OE是直徑，

∠AOE=60°，∠EOD=30°，∠EDO=90°

∵OD=2，

∴ED=DOtan30°=2．

過點(diǎn)C作CF⊥OD，垂足為F，則CF是△DEO的中位線，

所以OF=，CF=1．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，）

故圓心C的坐標(biāo)為（﹣1，）；

（2）如圖2，作BH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，

當(dāng)△BOD是等邊三角形，

則OB=OD=2，∠BOD=60°，

故∠BOA=30°，

則BH=OB=×2=，

OH===3，

∴B（﹣3，）；

（3）若B在第二象限，設(shè)B（﹣a，a），（a＞0），

則BC=，

∴AD===4，

∴AC=2，

∵BC=AC，

∴=2，

∴（﹣a+1）2+（a﹣）2=4，

解得：a1=0（舍去），a2=1+，

故B（﹣﹣1， +1），

若B在第一象限，設(shè)B（a，a），（a＞0），

∴BC=，

同理： =2，

解得：a3=0（舍去），a4=﹣1，

∴B（﹣1，﹣1），

綜上所述：B（﹣﹣1， +1）或B（﹣1，﹣1）．