Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AB→BC→CD的方向運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；點(diǎn)Q沿線段AD的方向運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．當(dāng)P、Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△APQ的面積為S（cm²）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖1），S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：______

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖1），過B作BE垂直于AD，由梯形ABCD為等腰梯形，由下底與上底之差的一半求出AE，在直角三角形ABE中，得到AE等于AB的一半，而AQ等于AP的一半，且夾角為公共角得到三角形APQ與三角形ABE相似，進(jìn)而確定出PQ垂直于AD，由AP與AQ，利用勾股定理表示出PQ，由AQ與PQ乘積的一半即可表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式，再由AB的長，除以P運(yùn)動(dòng)的速度求出P到B的時(shí)間，即可確定出t的范圍；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2），過P作PE⊥AD，由（1）得得到PE的長，三角形APQ以AQ為底，PE為高，利用三角形的面積公式表示出S與t的關(guān)系式即可，由AB+BC的長除以P運(yùn)動(dòng)的速度，求出時(shí)間t的值，即可確定出此時(shí)t的范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖3），過P作PE垂直于AD，CF垂直于AD，可得出CF的長，由三角形PDE與三角形CDF相似，由相似得比例，將各自的值代入表示出PE，三角形APQ以AQ為底，PE為高，利用三角形的面積公式表示出此時(shí)S與t的關(guān)系式，并由AB+BC+CD的長除以P運(yùn)動(dòng)的速度，求出此時(shí)t的范圍，分別求出三解析式中S的最大值，比較大小即可得到S的最大值．
解答：
解：（1）P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過B作BE⊥AD，如圖1所示，
∵AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm，
∴AE=（AD-BC）=3cm，
在Rt△ABE中，AB=6cm，AE=3cm，即AB=2AE，
又∵AP=2tcm，AQ=tcm，即AP=2AQ，且∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABE，
∴∠PQA=∠BEA=90°，
在Rt△APQ中，根據(jù)勾股定理得：PQ=tcm，
則S=t²，（0＜t≤3）；
故答案為：S=t²；0＜t≤3；

（2）P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過P作PE⊥AD，如圖2所示，
由（1）得到PE=3cm，又AQ=tcm，
則S=AQ•PE=t（3＜t≤4）；

（3）P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過P作PE⊥AD，CF⊥AD，如圖3所示，
可得△PDE∽△CDF，由（1）得到CF=3，
則=，即=，
解得PE=（7-t）cm，又AQ=tcm，
則S=t（7-t）=-t²+t（4≤t＜7），
綜上，P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)t=3時(shí)，S取最大值，S最大為；
P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)t=4時(shí)，S取最大值，S最大為6；
P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)t=4時(shí)，S取最大值，S最大為6，
則點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t取4時(shí)，S的值最大，為6．
點(diǎn)評：此題考查了相似型綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰梯形的性質(zhì)，以及一次、二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．