Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD的外側，作兩個等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE．

（1）請判斷：AF與BE的數量關系是 ， 位置關系是；
（2）如圖2，若將條件“兩個等邊三角形ADE和DCF”變?yōu)椤皟蓚�等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）問中的結論是否仍然成立？請作出判斷并給予說明；
（3）若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）問中的結論都能成立嗎？請直接寫出你的判斷．

Answer 1

【答案】
（1）相等；互相垂直
（2）

解：結論仍然成立．

理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，

∴在△ADE和△DCF中， ，

∴△ADE≌△DCF，

∴∠DAE=∠CDF，

又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

∴在△ABE和△ADF中， ，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，

又∵∠DAF+∠BAM=90°，

∴∠ABM+∠BAM=90°，

∴在△ABM中，∠AMB=180°﹣（∠ABM+∠BAM）=90°，

∴BE⊥AF

（3）

解：第（1）問中的結論都能成立．

理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，

∴在△ADE和△DCF中， ，

∴△ADE≌△DCF，

∴∠DAE=∠CDF，

又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

∴在△ABE和△ADF中， ，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，

又∵∠DAF+∠BAM=90°，

∴∠ABM+∠BAM=90°，

∴在△ABM中，∠AMB=180°﹣（∠ABM+∠BAM）=90°，

∴BE⊥AF．

【解析】解：（1）AF與BE的數量關系是：AF=BE，位置關系是：AF⊥BE．
答案是：相等，互相垂直；

【考點精析】關于本題考查的三角形的內角和外角和平行四邊形的性質，需要了解三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能得出正確答案．