Question

已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖象上的點，當四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形．
（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；
（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：此題較為新穎，特別要注意審題和分析題意，耐心把題讀完，知A、B為坐標軸上兩點，C、D為函數(shù)圖象上的兩點．
（1）先正確地畫出圖形，再利用正方形的性質(zhì)確定相關(guān)點的坐標從而計算正方形的邊長，注意思維的嚴密性；
（2）因為ABCD為正方形，所以可作垂線得到全等三角形，利用點D（2，m）的坐標表示出點C的坐標從而求解．

解答：解：（1）如圖1，當點A在x軸正半軸，點B在y軸負半軸上時，
∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的邊長CD=

2

；
∵當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時，
∴設(shè)正方形的邊長為a，
∴3a=CD=

2

．
∴a=

2

3

，
∴正方形邊長為

1

3

2

，
∴一次函數(shù)y=x+1圖象的伴侶正方形的邊長為

2

或

2

3

；

（2）如圖2，作DE，CF分別垂直于x、y軸，
∵AB=AD=BC，∠DAE=∠OBA=∠FCB，
∴△ADE≌△BAO≌△CBF．
∵m＜2，
∴DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C點坐標為（2-m，2），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y=

k

x

，
∵D（2，m），C（2-m，2）
∴

2= k 2-m ① m=  k 2 ②

，
∴由②得：k=2m③，
∴把k=2m代入①得：2m=2（2-m），
∴解得m=1，k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

．

點評：此題是一道新定義題，題比較復(fù)雜，主要考查對反比例函數(shù)和一次函數(shù)問題的解決能力，關(guān)鍵在于先要正確理解伴侶正方形的意義，特別要注意的是正方形的頂點所處的位置，因為涉及到相關(guān)點的坐標，所以過某一點作坐標軸的垂線是必不可少的，再利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的知識確定相關(guān)點的坐標即可求解．