Question

如圖，已知拋物線ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4與ｘ軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與ｙ軸相交于點(diǎn)D（0，8），直線DC平行于ｘ軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿C→D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B運(yùn)動(dòng)，連接PQ、CB，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（１）求ａ的值；（２）當(dāng)四邊形ODPQ為矩形時(shí)，求這個(gè)矩形的面積；（３）當(dāng)四邊形PQBC的面積等于14時(shí)，求t的值．（４）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是等腰三角形？（直接寫出答案）

 

Answer 1

（１）8（２）（３）（４）

解析:解：（１）∵拋物線ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4經(jīng)過點(diǎn)（0，8）

∴ａ－4ａ－4＝8

解得：ａ＝6，ａ＝－2（不合題意，舍去）

∴ａ的值為6

（２）由（１）可得拋物線的解析式為

ｙ＝ｘ－6ｘ＋8

當(dāng)ｙ＝0時(shí)，ｘ－6ｘ＋8＝0

解得：ｘ＝2，ｘ＝4

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）

當(dāng)ｙ＝8時(shí)，

ｘ＝0或ｘ＝6

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，8），C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8）

DP＝6－2t，OQ＝2＋ｔ

當(dāng)四邊形OQPD為矩形時(shí)，DP＝OQ

2＋t＝6－2t，t＝，OQ＝2＋＝

S＝8×＝

即矩形OQPD的面積為

（３）四邊形PQBC的面積為，當(dāng)此四邊形的面積為14時(shí)，

（2－t＋2t）×8＝14

解得t＝（秒）

當(dāng)t＝時(shí)，四邊形PQBC的面積為14

 

（４）過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，連接PB，

當(dāng)QE=BE時(shí)，△PBQ是等腰三角形，

∵CP=2t，

∴DP=6-2t，

∴BE=OB-PD=4-（6-2t）=2t-2，

∵OQ=2+t，

∴QE=PD-OQ=6-2t-（2+t）=4-3t，

∴4-3t=2t-2，

解得：t=  ，

∴當(dāng)t=  時(shí)，△PBQ是等腰三角形

t＝時(shí)，PBQ是等腰三角形．

（1）把點(diǎn)D（0，8）代入拋物線y=x²-ax+a²-4a-4解方程即可解答；

（2）利用（1）中求得的拋物線，求得點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，再利用矩形的判定與性質(zhì)解得即可；

（3）利用梯形的面積計(jì)算方法解決問題；

（4）只考慮PQ=PB，其他不符合實(shí)際情況，即可找到問題的答案