Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于點G，點E、F分別為AG、CD的中點，連接DE、FG．

（1）求證：四邊形DEGF是平行四邊形；
（2）當(dāng)點G是BC的中點時，求證：四邊形DEGF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AG∥DC，AD∥BC，

∴四邊形AGCD是平行四邊形，

∴AG=DC，

∵E、F分別為AG、DC的中點，

∴GE= AG，DF= DC，

即GE=DF，GE∥DF，

∴四邊形DEGF是平行四邊形；

（2）

證明：連結(jié)DG，

∵四邊形AGCD是平行四邊形，

∴AD=CG，

∵G為BC中點，

∴BG=CG=AD，

∵AD∥BG，

∴四邊形ABGD是平行四邊形，

∴AB∥DG，

∵∠B=90°，

∴∠DGC=∠B=90°，

∵F為CD中點，

∴GF=DF=CF，

即GF=DF，

∵四邊形DEGF是平行四邊形，

∴四邊形DEGF是菱形．

【解析】（1）求出平行四邊形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；（2）連接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根據(jù)菱形的判定推出即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的判定和菱形的判定方法的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．