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        1. 如圖,已知直線a的解析式為y=3x+6,直線a與x軸.y軸分別相交于A.B兩點,直線b經(jīng)過B.C兩點,點C的坐標(biāo)為(8,0).直線a沿x軸正方向平移m個單位(0<m<10)得到直線a′,直線a′與x軸.直線b分別相交于點M.N.精英家教網(wǎng)
          (1)求sin∠BCA的值;
          (2)當(dāng)△MCN的面積為
          152
          時,求直線a′的函數(shù)解析式;
          (3)將△MCN沿直線a′對折得到△MC′N,把△MC′N與四邊形AMNB的重疊部分面積記為S,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式,并求當(dāng)S最大時四邊形MCNC′的周長.
          分析:(1)根據(jù)直線的性質(zhì),求出B、C的坐標(biāo),在直角三角形BOC中,根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求出sin∠BCA的值;
          (2)求出S△ABC,根據(jù)△MCN∽△ABC,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,求出M點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求直線a′的函數(shù)解析式即可;
          (3)根據(jù)翻折不變性,可知S△MC′N=S△MCN,利用(2)的結(jié)論即可得到其面積表達式,然后即可根據(jù)m的取值范圍推出三角形面積的最大值.
          解答:解:(1)對于y=3x+6,可求B(0,6).(1分)
          ∴OB=6,
          ∵C(8,0),
          ∴OC=8.精英家教網(wǎng)
          ∴BC=
          62+82
          =10.(1分)
          ∴sin∠BCA=
          OB
          BC
          =
          6
          10
          =
          3
          5
          .(1分)

          (2)由y=3x+6可求A(-2,0),
          ∴AC=BC=10.
          ∴S△ABC=
          1
          2
          AC×OB=
          1
          2
          ×10×6=30.(1分)
          ∵a′∥a,
          ∴△MCN∽△ABC.(1分)
          S△MCN
          SACB
          =(
          MC
          AC
          2,
          ∵S△MCN=
          15
          2
          ,
          MC
          AC
          =
          1
          2
          .(1分)精英家教網(wǎng)
          ∴MC=5.
          ∴M(3,0).(1分)
          設(shè)a′為y=3x+b,代入M(3,0)得b=-9.
          ∴直線a′解析式為y=3x-9.(1分)

          (3)由(2)可知,當(dāng)m=5時,點C′正好在AB上.
          ∴當(dāng)5≤m≤10時,點C′在△ABC內(nèi),如圖所示.
          此時,重疊部分面積S=S△MC′N=S△MCN
          =(
          MC
          AC
          2•S△ABC=30×(
          10-m
          10
          2=
          3
          10
          (10-m)2,(2分)
          當(dāng)0≤m≤5時,點C在△AB外內(nèi),如圖所示.
          ∵AC=BC=10,
          ∴△ABC是等腰三角形,易知△AEM,精英家教網(wǎng)
          △BFN,△MCN都是與△ABC相似的等腰三角形.(1分)
          ∴S△AEM=(
          m
          10
          2•S△ABC=S△BFN,S△MCN=(
          10-m
          10
          2•S△ABC,
          ∴重疊部分面積S=30-(
          m
          10
          2×30×2-(
          10-m
          10
          2×30,
          =6m-
          9
          10
          m2(1分)
          綜上可知:S=
          6m-
          9
          10
          m2,0<m<5
          3
          10
          (10-m)2,5≤m<10

          顯然,在5≤m<10范圍內(nèi),當(dāng)m=5時,S最大=
          15
          2
          ;而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì),在0<m<5范圍內(nèi),當(dāng)m=
          10
          3
          時,S最大=10.
          所以,在0<m<10時,當(dāng)m=
          10
          3
          時,S最大=10.(1分)
          易知MCNC是菱形,所以當(dāng)S最大時,
          四邊形MCNC的周長=4×(10-m)=4×(10-
          10
          3
          )=
          80
          3
          .(1分)
          點評:此題考查了二次函數(shù)的圖象和直線及三角形面積的關(guān)系,綜合性很強,不僅要熟悉函數(shù)的圖象和性質(zhì),更要熟悉翻折變換和相似三角形的性質(zhì),難度較大,須認真讀題.
          練習(xí)冊系列答案
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          13
          x<kx+b≤0的解集為
           

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          (1)求a的值,判斷直線l3:y=-
          1
          2
          nx-2m是否也經(jīng)過點P?請說明理由;
          (2)不解關(guān)于x,y的方程組
          y=3x+1
          y=mx+n
          ,請你直接寫出它的解;
          (3)若直線l1,l2表示的兩個一次函數(shù)都大于0,此時恰好x>3,求直線l2的函數(shù)解析式.

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          x>-1
          x>-1

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          A.0        B.1   C.2          D.3

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          A.0        B.1       C.2          D.3

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          同步練習(xí)冊答案