Question

如圖，已知直線a的解析式為y=3x+6，直線a與x軸．y軸分別相交于A．B兩點，直線b經(jīng)過B．C兩點，點C的坐標為（8，0）．直線a沿x軸正方向平移m個單位（0＜m＜10）得到直線a′，直線a′與x軸．直線b分別相交于點M．N．
（1）求sin∠BCA的值；
（2）當△MCN的面積為

15

2

時，求直線a′的函數(shù)解析式；
（3）將△MCN沿直線a′對折得到△MC′N，把△MC′N與四邊形AMNB的重疊部分面積記為S，求S關于m的函數(shù)解析式，并求當S最大時四邊形MCNC′的周長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的性質(zhì)，求出B、C的坐標，在直角三角形BOC中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求出sin∠BCA的值；
（2）求出S_△ABC，根據(jù)△MCN∽△ABC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出M點的坐標，利用待定系數(shù)法求直線a′的函數(shù)解析式即可；
（3）根據(jù)翻折不變性，可知S_△MC′N=S_△MCN，利用（2）的結(jié)論即可得到其面積表達式，然后即可根據(jù)m的取值范圍推出三角形面積的最大值．

解答：解：（1）對于y=3x+6，可求B（0，6）．（1分）
∴OB=6，
∵C（8，0），
∴OC=8．
∴BC=

62+82

=10．（1分）
∴sin∠BCA=

OB

BC

=

6

10

=

3

5

．（1分）

（2）由y=3x+6可求A（-2，0），
∴AC=BC=10．
∴S_△ABC=

1

2

AC×OB=

1

2

×10×6=30．（1分）
∵a′∥a，
∴△MCN∽△ABC．（1分）
∴

S△MCN

SACB

=（

MC

AC

）²，
∵S_△MCN=

15

2

，
∴

MC

AC

=

1

2

．（1分）
∴MC=5．
∴M（3，0）．（1分）
設a′為y=3x+b，代入M（3，0）得b=-9．
∴直線a′解析式為y=3x-9．（1分）

（3）由（2）可知，當m=5時，點C′正好在AB上．
∴當5≤m≤10時，點C′在△ABC內(nèi)，如圖所示．
此時，重疊部分面積S=S_△MC′N=S_△MCN
=（

MC

AC

）²•S_△ABC=30×（

10-m

10

）²=

3

10

（10-m）²，（2分）
當0≤m≤5時，點C^′在△AB外內(nèi)，如圖所示．
∵AC=BC=10，
∴△ABC是等腰三角形，易知△AEM，
△BFN，△MCN都是與△ABC相似的等腰三角形．（1分）
∴S_△AEM=（

m

10

）²•S_△ABC=S_△BFN，S_△MCN=（

10-m

10

）²•S_△ABC，
∴重疊部分面積S=30-（

m

10

）²×30×2-（

10-m

10

）²×30，
=6m-

9

10

m²（1分）
綜上可知：S=

6m- 9 10 m2，0＜m＜5 3 10 (10-m)2，5≤m＜10

顯然，在5≤m＜10范圍內(nèi)，當m=5時，S最大=

15

2

；而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，在0＜m＜5范圍內(nèi)，當m=

10

3

時，S最大=10．
所以，在0＜m＜10時，當m=

10

3

時，S最大=10．（1分）
易知MCNC^′是菱形，所以當S最大時，
四邊形MCNC^′的周長=4×（10-m）=4×（10-

10

3

）=

80

3

．（1分）

點評：此題考查了二次函數(shù)的圖象和直線及三角形面積的關系，綜合性很強，不僅要熟悉函數(shù)的圖象和性質(zhì)，更要熟悉翻折變換和相似三角形的性質(zhì)，難度較大，須認真讀題．