Question

【題目】已知：如（圖1），在平面直角坐標(biāo)中，A(12，0)，B(6，6)，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)．

（1）利用直尺和圓規(guī)在（圖1）中作出點(diǎn)D的位置（保留作圖痕跡），判斷四邊形OBDA的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）在（圖1）中，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線(xiàn)段OA運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒a個(gè)單位的速度沿OB→BD→DA運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

①當(dāng)t=4時(shí)，直線(xiàn)EF恰好平分四邊形OBDA的面積，求a的值；

②當(dāng)t=5時(shí)，CE=CF，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的值．

Answer 1

【答案】（1）四邊形OBDA是平行四邊形，見(jiàn)解析；（2）①2+，②或或

【解析】

（1）作射線(xiàn)OC，截取CD=OC，然后由對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形進(jìn)行可得到四邊形的形狀；

（2）①由直線(xiàn)EF恰好平分四邊形OBDA的面積可知直線(xiàn)EF必過(guò)C，接下來(lái)，證明△OEC≌△DFC，從而可求得DF的長(zhǎng)度，于是得到BF=8，然后再由兩點(diǎn)間的距離公式求得OB的長(zhǎng)，從而可求得a的值；

②先求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求得EC的長(zhǎng)，從而得到CF1的長(zhǎng)，然后依據(jù)勾股定理的逆定理證明∠OBA=90°，在△BCF1中，依據(jù)勾股定理可求得BF1的長(zhǎng)，從而可求得a的值，設(shè)點(diǎn)F2的坐標(biāo)（b，6），由CE=CF列出關(guān)于b的方程可求得點(diǎn)F2的坐標(biāo)，從而可求得a的值，在Rt△CAF3中，取得AF3的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程，于是可求得a的值．

解：（1）如圖所示：

四邊形OBDA是平行四邊形．

理由如下：∵點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，

∴CB=CA．

∵點(diǎn)D與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)，

∴CO=CD．

∴四邊形OBDA是平行四邊形．

（2）①如圖2所示；

∵直線(xiàn)EF恰好平分四邊形OBDA的面積，

∴直線(xiàn)EF必過(guò)C（9，3）．

∵t=4，

∴OE=4．

∵BD∥OA，

∴∠COE=∠CDF．

∵在△OEC和△DFC中，

∴△OEC≌△DFC．

∴DF=OE=4．

∴BF=12-4=8．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知OB==6．

∴4a=6+8．

∴a=2+．

②如圖3所示：

∵當(dāng)t=5時(shí)，OE=5，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)（5，0）．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知EC==5．

∵CE=CF，

∴CF=5．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知OB=BA=6，

又∵OA=12．

∴△OBA為直角三角形．

∴∠OBA=90°．

①在直角△F1BC中，CF1=5，BC=3，

∴BF1=．

∴OF1=6-．

∴a=．

②設(shè)F2的坐標(biāo)為（b，6）．由兩點(diǎn)間的距離公式可知=5．

解得；b=5（舍去）或b=13．

∴BF2=13-6=7．

∴OB+BF2=6+7．

∴a=．

③∵BO∥AD，

∴∠BAD=∠OBA=90°．

∴AF3==．

∴DF3=6-．

∴OB+BD+DF3=6+12+6-=12-+12．

∴a=．

綜上所述a的值為或或．